Teorema de la buena ordenación de Zermelo

Demostramos el teorema de la buena ordenación de Zermelo es decir, en todo conjunto no vacío se puede definir un buen orden.

Enunciado
Sea $E$ un conjunto no vacío.
(a) Demostrar que en todo subconjunto finito de $E$ se puede definir un buen orden.
(b) Consideremos todos los subconjuntos $A$ de $E$ para los cuales se puede definir un buen orden y elijamos uno de tales órdenes, al que denotamos por $\le_A.$ Llamemos $$\mathcal{O}=\left\{(A,\le_A):A\subset E \text{ con}\le_A\text{buen orden en }A\right\}.$$ Definimos en $\mathcal{O}$ la relación $\preceq$
$$(A,\le _A)\preceq (B,\le_B)\stackrel{\text{def}}{\Leftrightarrow }\begin{cases}1)\;\; A\subset B,\\2)\;\;\le_A\text{ es la restricción de }\le_B\text{a }A,\\3)\;\;a\in A,\;b\in B,\; b<_B a\Rightarrow b\in A.\end{cases} $$ Demostrar que $\preceq$ es relación de orden en $\mathcal{O}.$
(c) Demostrar que si $\mathcal{O}$ tiene un elemento maximal, el conjunto $E$ puede ser bien ordenado.
(e) Demostrar que toda cadena de $\mathcal{O}$ (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota superior.
(e) Aplicar el lema de Zorn para demostrar que $E$ puede ser bien ordenado.

Solución
(a) Para cualquier subconjunto finito $F$ de $E$ podemos establecer una biyección $j:\{1,2,\ldots,n\}\to F$ y llamando $j(i)=x_i$ podemos definir el buen orden en $F$ dado por $x_1 < x_2 <\ldots < x_n$.

(b) Por el apartado anterior, $\mathcal{O}\ne \emptyset$.

Reflexiva. Trivialmente tenemos $A\subset A,$ $\le _A$ es la restricción de $\le_A$ a $A$ y $b\in A$ implica $b\in A,$ luego $(A,\le _A)\preceq (A,\le_A).$
Antisimétrica. Si $(A,\le _A)\preceq (B,\le_B)$ y $(B,\le _B)\preceq (A,\le_B)$ se verifica $A\subset B$ y $B\subset A,$ luego $A=B$ y $\le_A=\le_B$ por $2)$, por tanto $(A,\le _A)= (B,\le_B)$.
Transitiva. Supongamos que $(A,\le _A)\preceq (B,\le_B)$ y $(B,\le _B)\preceq (C,\le_C)$. De la condición $1)$ se deduce que $A\subset B\subset C$ y de la $2)$ que $\le_A$ es la restricción de $\le_C$ a $A.$
Sean ahora $a\in A$, $c\in C$ con $c<_C a.$ Esto implica que $a\in B$ y $c\in C$ con $a<_C c$ lo cual implica que $c\in B.$ Entonces, $a\in A$, $c\in B$ y $c<_B a$ con lo cual $a\in A.$ Es decir, $(A,\le _A)\preceq (C,\le_C).$

(c) Sea $(A,\le_A)$ un elemento maximal en $\mathcal{O}$, veamos que $A=E.$ En en efecto, si $A\ne E$ sea $b\in E-A$. En $B=A\cup \{b\}$ podemos definir el orden $\le_B$ que coincide con $\le_A$ en $A$ y $a\le b$ para todo $a\in A.$ Claramente $\le_B$ es un buen orden en $B$ y $(A,\le_A)\prec (B,\le_B)$ contra la hipótesis.

(d) Sea $\mathcal{C}=\left\{\left(A_\lambda,\le_{A_\lambda}\right):\lambda\in\Lambda\right\}$ una cadena de $\mathcal{O}$ y sea $\mathcal{F}=\left\{A_\lambda:\lambda\in\Lambda\right\}$. Es claro que la familia $\mathcal{F}$ es ella misma una cadena con respecto de la relación de orden inclusión. Llamemos $U=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}$, y vamos a definir un orden en $U.$

Consideremos un número finito $u_1,u_2,\ldots,u_n$ de elementos de $U.$ Para cada $i=1,2,\ldots,n$ existe un $A_i\in \mathcal{F}$ tal que $u_i\in A_i$ y al ser $\mathcal{F}$ una cadena, uno de los $A_i$ (llamemósle $A$) contiene a todos los $A_i$ y por tanto $\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}\subset A.$ Sea ahora $B\in\mathcal{F}$ con $\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}\subset B$; la relación $u_i\le_A u_j$ implica $u_i\le_B u_j$ para todo $i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$ pues $\mathcal{C}$ es una cadena.

Tomemos $n=2$ y definamos el orden $\le_U$ en $U$ escribiendo $u_1\le_U u_2$ si $u_1\le_A u_2$ siendo $A$ cualquier elemento de $\mathcal{F}$ que contiene a $u_1$ y $u_2$. Claramente la relación $\le_U$ es reflexiva y antisimétrica y tomando $n=3$ deducimos que es transitiva. Es además orden total por construcción.

Demostremos que $\le_U$ es un buen orden en $U.$ Sea $S\subset U$ con $S\ne\emptyset$ y veamos que $S$ tiene elemento mínimo. Sea $s\in S.$ Si $s$ es mínimo, ya está demostrado. Si no lo es, sea el conjunto no vacío $$T=\{t\in S:t<_U s\}.$$ Sea $(A,\le_A)$ un elemento de la cadena $\mathcal{C}$ tal que $s\in A$ y sea $(B,\le_B)$ un elemento de la cadena $\mathcal{C}$ tal que $t\in B.$ Dado que $\mathcal{F}$ es una cadena, o bien $B\subset A$ y entonces $t\in A$, o bien $A\subsetneq B$ y entonces $s\in A$, $t\in B$, $t<_U s$ luego según la definición del orden $\preceq$ en $\mathcal{O}$, $t\in A.$ Es decir, en cualquier caso $t\in A$, luego $T\subset A.$

Como $T$ es subconjunto no vacío de $A$ (que está bien ordenado), $T$ admite un elemento mínimo $m$ en el orden $\le_A.$ Ahora bien, al ser $T\subset A\subset U$, las restricciones de los órdenes $\le_A$ y $\le_U$ a $T$ coinciden, luego $T$ admite a $m$ como mínimo en el orden $\le_U$. Como $\le_U$ es un orden total, $m$ es también elemento mínimo de $S$, luego $\le_U$ es buen orden. Es decir, hemos demostrado que $(U,\le_U)\in\mathcal{O}$.

Veamos ahora que $(U,\le_U)$ es cota superior de la cadena $\mathcal{C}$ es decir, veamos que $$(A,\le_A)\preceq (U,\le_U),\quad\forall (A,\le_A)\in \mathcal{C}.$$ En efecto, $A\subset U$ por construcción y $\le_A$ es la restricción de $\le_U$ a $A$. Sean ahora $a\in A$, $x\in U$ tales que $x<_Ua.$ Existe un $X$ en la cadena $\mathcal{F}$ que contiene a $\{x\}\cup A$ y consideremos $(X.\le_ X)\in\mathcal{C}.$ Entonces, $$(A,\le_A)\preceq (X,\le_X),$$ y por tanto la desigualdad $x<_Ua$ implica $x\in A.$ Al ser $U$ mayorante mínimo de la cadena $\mathcal{F}$, el par $(U,\le_U)$ es mayorante mínimo de la cadena $\mathcal{C}$. Hemos demostrado que la cadena $\mathcal{C}$ tiene cota superior.

(e) Por el lema de Zorn, existe un elemento maximal en $(\mathcal{O},\preceq)$, y como consecuencia del apartado (c), existe un buen orden en $E.$