Determinante de una matriz solución de un sistema diferencial homogéneo

Demostramos una fórmula para el determinante de una matriz solución de un sistema diferencial homogéneo

Enunciado
Sea el sistema diferencial lineal homogéneo de orden $n$ $$X’=A(t)X.\qquad (H)$$ en donde $A(t)=[a_{ij}(t)],$ $I=[a,b]$ es un intervalo cerrado de la recta real, y $$a_{ij}:[a,b]\to \mathbb{K}\quad (\mathbb{K}=\mathbb{R}\text{ o }\mathbb{K}=\mathbb{R})$$ son funciones continuas. Sea $\Phi(t)=[\varphi_{ij}(t)]$ una matriz solución de $(H),$ es decir una matriz que satisface $\Phi'(t)=A(t)\Phi(t),$ lo cual equivale a decir que las columnas de $\Phi(t)$ son soluciones de $(H).$ Sea $t_0\in [a,b].$
Demostrar que $$\det \Phi(t)=e^{\displaystyle\int_{t_0}^t\text{tr}A(t)\;dt}\det \Phi(t_0)\quad (\forall t\in [a,b]).$$
Demostrar que $\det \Phi(t)=0$ para todo $t\in [a,b]$ o bien $\det \Phi(t)$ no se anula en ningún punto de $[a,b].$

Solución
La matriz $\Phi (t)$ es de la forma $$\Phi(t)=\begin{bmatrix} \varphi_{11}(t) & \ldots & \varphi_{1n}(t)\\ \varphi_{21}(t) & \ldots & \varphi_{2n}(t) \\ \vdots&&\vdots \\ \varphi_{n1}(t) &\ldots & \varphi_{nn}(t)\end{bmatrix}\;,\text{ con } \varphi_{ij}\in \mathcal{C}^1[a,b]\;\;\forall i,j.$$ Derivando $\det \Phi (t)$ por filas: $$\left(\det\Phi(t)\right)’=\begin{vmatrix} \varphi’_{11}(t) & \ldots & \varphi’_{1n}(t)\\ \varphi_{21}(t) & \ldots & \varphi_{2n}(t) \\ \vdots&&\vdots \\ \varphi_{n1}(t) &\ldots & \varphi_{nn}(t)\end{vmatrix}+\cdots+\begin{vmatrix} \varphi_{11}(t) & \ldots & \varphi_{1n}(t)\\ \varphi_{21}(t) & \ldots & \varphi_{2n}(t) \\ \vdots&&\vdots \\ \varphi’_{n1}(t) &\ldots & \varphi’_{nn}(t)\end{vmatrix}\;.\quad (*)$$ Dado que $\Phi'(t)=A(t)\Phi(t),$ se verifica: $$\begin{bmatrix} \varphi’_{11}(t) & \ldots & \varphi’_{1n}(t)\\ \varphi’_{21}(t) & \ldots & \varphi’_{2n}(t) \\ \vdots&&\vdots \\ \varphi’_{n1}(t) &\ldots & \varphi’_{nn}(t)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}(t) & \ldots & a_{1n}(t)\\ a_{21}(t) & \ldots & a_{2n}(t) \\ \vdots&&\vdots \\ a_{n1}(t) &\ldots & a_{nn}(t)\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix} \varphi_{11}(t) & \ldots & \varphi_{1n}(t)\\ \varphi_{21}(t) & \ldots & \varphi_{2n}(t) \\ \vdots&&\vdots \\ \varphi_{n1}(t) &\ldots & \varphi_{nn}(t)\end{bmatrix},$$ por tanto $$\begin{pmatrix}\varphi’_{11}(t),\ldots,\varphi’_{1n}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}(t),\ldots,a_{1n}(t)\end{pmatrix}\Phi (t),$$ y podemos expresar el primer término del segundo miembro de $(*)$ en la forma $$\begin{vmatrix} \varphi’_{11} & \ldots & \varphi’_{1n}\\ \varphi_{21} & \ldots & \varphi_{2n} \\ \vdots&&\vdots \\ \varphi_{n1} &\ldots & \varphi_{nn}\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix} a_{11}\varphi_{11}+ a_{12}\varphi_{21}+\ldots+a_{1n}\varphi_{n1}& \ldots & a_{11}\varphi_{1n}+ a_{12}\varphi_{2n}+\ldots+a_{1n}\varphi_{nn}\\ \varphi_{21} & \ldots & \varphi_{2n} \\ \vdots&&\vdots \\ \varphi_{n1} &\ldots & \varphi_{nn}\end{vmatrix}\;.$$ (Hemos prescindido por comodidad de la escritura de $t$). Efectuando la transformación $$F_1\rightarrow F_1-a_{12}F_2-\ldots-a_{1n}F_n:$$ $$\begin{vmatrix} \varphi’_{11} & \ldots & \varphi’_{1n}\\ \varphi_{21} & \ldots & \varphi_{2n} \\ \vdots&&\vdots \\ \varphi_{n1} &\ldots & \varphi_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}\varphi_{11} & \ldots & a_{11}\varphi_{1n}\\ \varphi_{21} & \ldots & \varphi_{2n} \\ \vdots&&\vdots \\ \varphi_{n1} &\ldots & \varphi_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}\Phi (t).$$ De manera análoga se pueden transformar los demás sumandos del segundo miembro de $(*),$ por tanto $$\left(\Phi(t)\right)’=a_{11}\det \Phi(t)+\cdots+a_{nn}\det \Phi(t)=\left(\text{tr}A(t)\right)\det\Phi(t).$$ Llamando $f(t)=\det \Phi (t),$ queda la ecuación diferencial $f'(t)=\left(\text{tr}A(t)\right)f(t).$ Resolviendo: $$\frac{f'(t)}{f(t)}=\text{tr}A(t),\;\log\left|f(t)\right|=\int_{t_0}^t\text{tr}A(t)\;dt+C,$$ $$f(t)=Ke^{\displaystyle\int_{t_0}^t\text{tr}A(t)\;dt},\;\;f(t_0)=K.$$ Es decir, $$\det \Phi(t)=e^{\displaystyle\int_{t_0}^t\text{tr}A(t)\;dt}\det \Phi(t_0)\quad (\forall t\in [a,b]).\quad (**)$$
Si $\det \Phi(t_0)=0,$ de $(**)$ se deduce que $\det \Phi(t)=0$ para todo $t\in[a,b].$Si $\det \Phi(t_0)\neq 0$ entonces, también por $(**)$ y teniendo en cuenta que la función exponencial no se anula nunca, concluimos que $\det \Phi(t)$ no se anula en ningún punto de $[a,b].$