Variación de las constantes

Proporcionamos un ejemplo de aplicación del método de variación de las constantes.

Enunciado
Usando el método de variación de las constantes hallar la solución general de la ecuación diferencial $$x^{\prime\prime}+x=\dfrac{1}{\cos t}$$ Solución
Recordamos el método de variación de las constantes. Sea la ecuación diferencial $$x^{(n)}+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}+\ldots+a_1(t)x’+a_0(t)x=f(t).\qquad (1)$$ Entonces, si $x_1(t),\ldots,x_n(t)$ son soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada a $(1),$ la solución general de $(1)$ es $$x(t)=C_1(t)x_1(t)+\ldots+C_n(t)x_n(t)$$ en donde $C_1(t),\ldots, C_n(t)$ son las soluciones del sistema $$\left \{ \begin{matrix}x_1(t)C’_1(t)+\ldots+x_n(t)C’_n(t)=0\\ x’_1(t)C’_1(t)+\ldots+x’_n(t)C’_n(t)=0 \\\ldots\\ x_1^{(n-1)}(t)C’_1(t)+\ldots+x_n^{(n-1)}(t)C’_n(t)=f(t).\end{matrix}\right. \qquad (2)$$ En nuestro caso la ecuación homogénea $x»+x=0$ es de coeficientes constantes, su ecuación característica es $\lambda^2+1=0,$ con raíces $\lambda=\pm i$ y una base de su espacio de soluciones está formada por las funciones $x_1(t)=\cos t$ y $x_2(t)=\sin t.$ Planteamos el sistema $(2):$ $$\left \{ \begin{matrix}C’_1(t)\cos t+C’_2(t)\sin t=0\\- C’_1(t)\sin t+C’_2(t)\cos t=\dfrac{1}{\cos t}.\end{matrix}\right.$$ Su solución es: $$C’_1(t)=\dfrac{\begin{vmatrix}{0}&{\sin t}\\{\frac{1}{\cos t}}&{\cos t}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\;\;\cos t}&{\sin t}\\{-\sin t}&{\cos t}\end{vmatrix}}=-\tan t\;,\; C’_2(t)=\dfrac{\begin{vmatrix}{\;\;\cos t}&{0}\\{-\sin t}&{\frac{1}{\cos t}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\;\;\cos t}&{\sin t}\\{-\sin t}&{\cos t}\end{vmatrix}}=1.$$ Entonces, $C_1(t)=\log |\cos t|+K_1$ y $C_2(t)=t+K_2.$ La solución general de la ecuación dada es por tanto: $$x(t)=t\sin t+(\cos t)(\log |\cos t|)+K_1\cos t+K_2\sin t\quad (K_1,K_2\in\mathbb{R}).$$