Anillo de las sucesiones de Cauchy en un anillo normado

Demostramos que en todo anillo normado $R$ se puede construir una estructura de anillo en el conjunto de sus sucesiones de Cauchy.

Enunciado
Sea $R$ un anillo unitario con norma $\left\|\;\right\|$ y $d(x,y)=\left\|x-y\right\|$ la distancia inducida por ella. Sea $\mathcal{C}$ el conjunto formado por todas las sucesiones de Cauchy en $R$. Definimos en $\mathcal{C}$ las operaciones: $$(x_n)+(y_n)=(x_n+y_n),\quad (x_n)\cdot (y_n)=(x_ny_n).$$ Demostrar que $(\mathcal{C},+,.)$ es anillo unitario y que es conmutativo si $R$ lo es.

Solución
$1)$ Veamos que $(\mathcal{C},+)$ es grupo abeliano.
Interna. Sean $x=(x_n)$ e $y=(y_n)$ dos elementos de $\mathcal{C}$ es decir, dos sucesiones de Cauchy en $R$. Sea $\epsilon > 0$. Entonces, existen $n_1,n_2$ números naturales tales que $$m,n\ge n_1\Rightarrow \left\|x_m-x_n\right\| < \epsilon/2,$$ $$m,n\ge n_1\Rightarrow \left\|y_m-y_n\right\| < \epsilon/2.$$ Si $m,n\ge n_3=\max\{n_1,n_2\}$ tenemos $$\left\|(x_m+y_m)-(x_n+y_n)\right\|=\left\|(x_m-x_n)+(y_m-y_n)\right\|$$ $$\le\left\|x_m-x_m\right\| + \left\|y_m-y_n\right\| < \epsilon/2+\epsilon /2=\epsilon.$$ Es decir, $x+y$ es sucesión de Cauchy, luego pertenece a $\mathcal{C}$.

Asociativa. Para todo $x=(x_n),\;y=(y_n),\;z=(z_n)$ elementos de $\mathcal{C}$ y aplicando la propiedad asociativa de la suma de los elementos de $R$: $$\begin{aligned}&(x+y)+z=\left((x_n)+(y_n)\right)+(z_n)=(x_n+y_n)+(z_n)=\left((x_n+y_n)+z_n\right)\\
&=\left(x_n+(y_n+z_n)\right)=(x_n)+(y_n+z_n)=(x_n)+\left((y_n)+(z_n)\right)=x+(y+z).
\end{aligned}$$ Elemento neutro. La sucesión $0=(0),$ cuyos términos son todos nulos, es elemento neutro para la suma de sucesiones en $\mathcal{C}$, pues trivialmente es de Cauchy y para todo $x=(x_n)\in \mathcal{C}:$ $$\begin{aligned}& x+0=(x_n+0)=(x_n)=x.\\
&0+x=(0+x_n)=(x_n)=x.
\end{aligned}$$ Elemento simétrico. Dada $x=(x_n)\in \mathcal{C},$ la sucesión $-x=(-x_n)$ es elemento simétrico de $x,$ pues claramente es de Cauchy y $$\begin{aligned}&x+(-x)=(x_n+(-x_n))=(0)=0 .\\
&(-x)+x=((-x_n)+x_n)=(0)=0.
\end{aligned}$$ Conmutativa. Para todo $x=(x_n),\;y=(y_n)$ elementos de $\mathcal{C}$ y usando la propiedad conmutativa de la suma de elementos de $R$: $$\begin{aligned} x+y=(x_n)+(y_n)=(x_n+y_n)=(y_n+x_n)=(y_n)+(x_n)=y+x.
\end{aligned}$$ $2)$ Veamos que $(\mathcal{C},\cdot)$ es semigrupo unitario.
Interna. Recordamos que en todo espacio métrico toda sucesión de Cauchy está acotada. Sean $x=(x_n)$ e $y=(y_n)$ elementos de $\mathcal{C}$. y sea $\epsilon > 0$. Tenemos $$\forall \epsilon_x > 0 \;\exists n_x: m,n \ge n_x\Rightarrow \left\|x_m-x_n\right\| < \epsilon_x,$$ $$\forall \epsilon_y > 0 \;\exists n_y: m,n \ge n_y\Rightarrow \left\|y_m-y_n\right\| < \epsilon_y.$$ Podemos escribir $$\left\|x_my_m - x_ny_n\right\| =\left\| x_my_m - x_my_n + x_my_n - x_ny_n\right\|$$ $$\leq\left\| x_m \right\|\left\| y_m - y_n \right\|+ \left\|y_n|\right\|\left\|x_m - x_n\right\|.$$ Sean $X > 0$ e $Y > 0$ cotas superiores de $\left\| x_n \right\|$ e $\left\| y_n \right\|$ respectivamente y elijamos $\epsilon_x < \epsilon/2Y$, $\epsilon_y < \epsilon/2X$. Sea $n_0=\max\{n_x,n_y\}$, entonces $$m,n\ge n_0\Rightarrow \left\|x_my_m - x_ny_n\right\| < X\cdot \frac{\epsilon}{2X}+Y\cdot \frac{\epsilon}{2Y}=\epsilon.$$ Hemos demostrado que la suma de elementos de $\mathcal{C}$ pertenece a $\mathcal{C}$.
Asociativa. Para todo $x=(x_n),\;y=(y_n),\;z=(z_n)$ elementos de $\mathcal{C}$ y aplicando la propiedad asociativa del producto de los elementos de $R$: $$\begin{aligned}&(xy)z=\left((x_n)(y_n)\right)(z_n)=(x_ny_n)(z_n)=\left((x_ny_n)z_n\right)=\\
&\left(x_n(y_nz_n)\right)=(x_n)(y_nz_n)=(x_n)\left((y_n)(z_n)\right)=x(yz).
\end{aligned}$$ Elemento unidad. La sucesión $1=(1)$ cuyos elementos son todos iguales a la unidad de $R$ es trivialmente de Cauchy y además para todo $x=(x_n)\in \mathcal{C}:$ $$\begin{aligned}& x1=(x_n1)=(x_n)=x,\\
& 1x=(1x_n)=(x_n)=x,
\end{aligned}$$ luego $1=(1)$ es elemento unidad de $\mathcal{C}$.

$3)$ Veamos que la operación producto es distributiva respecto de la suma. En efecto, para todo $x=(x_n),\;y=(y_n),\;z=(z_n)$ elementos de $\mathcal{C}$ y aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma en $R$: $$\begin{aligned}& x(y+z)=(x_n)\left((y_n)+(z_n)\right)=(x_n)(y_n+z_n)=\left(x_n(y_n+z_n)\right)=\\
& \left(x_ny_n+x_nz_n\right)=(x_ny_n)+(x_nz_n)=(x_n)(y_n)+(x_n)(z_n)=xy+xz,
\end{aligned}$$ y análogamente se demuestra $(x+y)z=xz+yz.$

Concluimos que $(\mathcal{C},+,\cdot)$ es un anillo unitario.

Además, si $R$ es conmutativo también $\mathcal{C}$ es conmutativo pues para todo $x=(x_n),\;y=(y_n)$ elementos de $\mathcal{C}$ y usando la propiedad conmutativa del producto en $R$: $$ xy=(x_n)(y_n)=(x_ny_n)=(y_nx_n)=(y_n)(x_n)=yx.$$