Completación de todo espacio métrico

Demostramos que todo espacio métrico tiene una completación y que es única salvo isometrías.

Enunciado
Sea $X$ un espacio métrico. Se dice que el espacio métrico $X^*$ es una completacion de $X$ si $X^*$ es completo y $X$ es isométrico a un subespacio denso de $X^*$. El objetivo de éste problema es demostrar que todo espacio métrico tiene una completación y que ésta es única salvo isometrías.
1. Sea $(X,d)$ un espacio métrico y sea $C[X]$ el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en $X$. Se define en $C[X]$ la relación $$(x_n)\sim (y_n)\Leftrightarrow \lim d(x_n,y_n)=0.$$ Demostrar que $\sim$ es una relación de equivalencia en $C[X]$
2. Sean $(x_n)$ e $(y_n)$ dos elementos de $C[X]$. Demostrar que la sucesión de números reales $d(x_n,y_n)$ es convergente
3. Sea el conjunto cociente $X^*=C[X]/\sim$. Se define la aplicación $$d^*:X^*\times X^*\to \mathbb{R},\quad d^*\left([x_n],[y_n]\right)=\lim d(x_n,y_n).$$ Demostrar que está bien definida, es decir que no depende del representante elegido en cada clase.
4. Demostrar que $d^*$ es una distancia en $X^*$.
5. Para todo $p\in X$ sea la sucesión constante $(p)=(p,p,p,\ldots)$. Consideremos el subconjunto de $X^*$: $\hat{X}=\{[(p)]:p\in X\}.$ Demostrar que $X$ es isométrico a $\hat{X}$.
6. Demostrar que $\hat{X}$ es denso en $X^*$.
7. Demostrar el siguiente lema:
   Sea $(M,d)$ un espacio métrico, $(b_n)$ una sucesión de Cauchy en $M$ y sea $(a_n)$ una sucesión en $M$ tal que $d(a_n,b_n) < 1/ n$ para todo $n$ natural. Entonces,
   (i) $(a_n)$ es sucesión de Cauchy en $M$.
   (ii) $(a_n)\to p\in M\Leftrightarrow (b_n)\to p\in M$
8. Demostrar que $(X^*,d^*)$ es completo.
9. Demostrar que si $Y^*$ es una completación de $X$, entonces $Y^*$ es isométrico a $X^*$.
10. ¿Cuál es la completación de $\mathbb{Q}$ con la distancia usual?

Solución
1. Reflexiva. Para todo $(x_n)\in C[X]$ tenemos $\lim d(x_n,x_n)=\lim 0=0$, luego $(x_n)\sim (x_n)$.
   Simétrica. Para todo $(x_n), (y_n)\in C[X]$ tenemos $$(x_n)\sim (y_n)\Rightarrow \lim d(x_n,y_n)=0\Rightarrow $$ $$\lim d(y_n,x_n)=\lim d(x_n,y_n)=0\Rightarrow (y_n)\sim (x_n).$$ Transitiva. Si $(x_n)\sim (y_n)$ e $(y_n)\sim (z_n)$ se verifica $d(x_n,y_n)\to 0$ y $d(y_n,z_n)\to 0$. Por la desigualdad triangular, $0\le d(x_n,z_n)\le d(x_n,y_n)+d(y_n,z_n)$. Por el teorema del Sandwich, $d(x_n,z_n)\to 0$ luego $(x_n)\sim (z_n)$.
2. Por la desigualdad triangular $$d(x_n,y_n)\le d(x_n,x_m)+d(x_m,y_m)+d(y_m,y_n)$$ o bien $d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)\le d(x_n,x_m)+d(y_m,y_n)$ con lo cual $$\left|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)\right|\le d(x_n,x_m)+d(y_m,y_n)$$ Como las sucesiones $(x_n)$ e $(y_n)$ son de Cauchy, para todo $\epsilon >0$ existen naturales $N_x, N_y$ tales que $d(x_n,x_m) < \epsilon/2$ si $n,m\ge N_x$ y $d(y_n,y_m) < \epsilon/2$ si $n,m\ge N_y$. Entonces, $$\left|d(x_n,y_n)-d(x_m,y_m)\right| < \epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon\text{ si }N=\max \{N_x,N_y\}.$$ Esto prueba que la sucesion de números reales $d(x_n,y_n)$ es de Cauchy y por tanto convergente al ser $\mathbb{R}$ completo.
3. Supongamos que $(x_n)\sim (x’_n)$ y que $(y_n)\sim (y’_n)$. Sea $l=\lim d(x_n,y_n)$ y $l’=\lim d(x’_n,y’_n)$. Tenemos que demostrar que $l=l’$. Por la desigualdad triangular, $$d(x_n,y_n)\le d(x_n,x’_n)+d(x’_n,y’_n)+d(y’_n,y_n).$$ Sea ahora $\epsilon > 0$. Tenemos $$\begin{aligned}& \exists n_1\in\mathbb{N}: n\ge n_1\Rightarrow d(x_n,x’_n) < \epsilon /3,\\ & \exists n_2\in\mathbb{N}: n\ge n_2\Rightarrow d(y_n,y'_n) < \epsilon /3,\\ & \exists n_3\in\mathbb{N}: n\ge n_3\Rightarrow \left|d(x'_n,y'_n)-l'\right| < \epsilon /3. \end{aligned}$$ Si $n \ge \max\{n_1,n_2,n_3\}$ se verifica $d(x_n,y_n) < l'+\epsilon$ y por tanto $\lim d(x_n,y_n)=l\le l'+\epsilon$ para todo $\epsilon$ luego $l\le l'.$ De manera simétrica se demuestra que $l'\le l$ y por tanto, $l=l'$.
4. Para todo $[(x_n)],[(y_n)]\in X^*$ tenemos $d^*\left([(x_n)],[(y_n)]\right)=\lim d(x_n,y_n)$, límite que vimos que existe y que además es $\ge 0$ al ser los $d(x_n,y_n)\ge 0$. Por otra parte, $$d^*\left([(x_n)],[(y_n)]\right)=0\Leftrightarrow \lim d(x_n,y_n)=0 \Leftrightarrow (x_n)\sim (y_n)\Leftrightarrow [(x_n)]=[(y_n)].$$ Para todo $[(x_n)],[(y_n)]\in X^*$: $$d^*\left([(x_n)],[(y_n)]\right)=\lim d(x_n,y_n)=\lim d(y_n,x_n)=d^*\left([(y_n)],[(x_n)]\right),$$ Para todo $[(x_n)],[(y_n)],[(z_n)]\in X^*$: $$d^*\left([(x_n)],[(y_n)]\right)=\lim d(x_n,y_n)\le \lim \left[d(x_n,z_n)+d(z_n,y_n)\right]$$ $$=\lim d(x_n,z_n)+\lim d(z_n,y_n)=d^*\left([(x_n)],[(z_n)]\right)+d^*\left([(z_n)],[(y_n)]\right).$$ Concluimos pues que $d^*$ es distancia en $X^*$.
5. Para todo $p\in X$ la sucesión constante $(p)$ es convergente y por tanto de Cauchy, con lo cual $\hat{X}\subset X^*$. Definamos la aplicación $f:X\to \hat{X}$ dada por $f(p)=[(p)].$ Tenemos, $$f(p)=f(q)\Rightarrow [(p)]=[(q)]\Rightarrow \lim \;(p-q)=p-q=0\Rightarrow p=q$$ es decir, $f$ es inyectiva. Por otra parte para todo $[(p)]\in \hat{X}$ se verifica $[(p)]=f(p)$, luego $f$ es sobreyectiva. Veamos ahora que la biyección $f$ es isometría. En efecto, para todo $p,q\in X$: $$d^*\left([(p)],[(q)]\right)=\lim\;d(p,q)=d(p,q).$$
6. Basta demostrar que todo punto de $X^*$ es el límite de una sucesión de elementos de $\hat{X}$. Sea pues $x=[(x_n)]\in X^*$ y denotemos por $\hat{x_1}$, $\hat{x_2}$, $\hat{x_3},\ldots$ los elementos de $\hat{X}$: $$\hat{x_1}=[(x_1,x_1,x_1,\ldots)],\;\hat{x_2}=[(x_2,x_2,x_2,\ldots)],\;\hat{x_3}=[(x_3,x_3,x_3,\ldots)],\;\ldots$$ Dado que $(x_n)$ es sucesión de Cauchy en $X$: $$\lim_{m\to +\infty}d^*(\hat{x_m},x)=\lim_{m\to +\infty}\left(\lim_{n\to +\infty}d(x_m,x_n)\right)=\lim_{m\to +\infty\\ n\to +\infty}d(x_m,x_n)=0$$ luego $(\hat{x}_n)\to x$.
7. (i) Por la desigualdad triangular $$d(a_m,a_n)\le d(a_m,b_m)+(b_m,b_n)+d(b_n,a_n).$$ Para todo $\epsilon > 0$ existe $n_1$ natural tal que $1/n_1 < \epsilon/3$ por tanto $$n,m\ge n_1\Rightarrow d(a_m,a_n)\le \epsilon/3+(b_m,b_n)+ \epsilon/3.$$ Como $(b_n)$ es de Cauchy, existe $n_2$ natural tal que si $n,m\ge n_2$ entonces $d(b_m,b_n) < \epsilon/3$. Si $n_0=\max \{n_1,n_2\}$, $$n,m \ge n_0\Rightarrow d(a_m.a_n)\ < \epsilon/3+\epsilon/3+\epsilon/3=\epsilon$$ lo cual implica que $(a_n)$ es de Cauchy.
   (ii) $\Rightarrow)$ Por hipótesis $(a_n)\to p$, luego $d(a_n,p)\to 0.$ Por otra parte $0\le d(b_n,a_n) \le 1/n$, es decir $d(b_n,a_n)\to 0.$ De la desigualdad triangular $0\le d(b_n,p)\le d(b_n,a_n)+d(a_n,p)$ obtenemos usando el teorema del Sandwich que $d(b_n,p)\to 0$ o de forma equivalente $(b_n)\to p$.
   $\Leftarrow )$ Se demuestra de manera análoga.
8. Sea $(\alpha_n)$ una sucesión de Cauchy en $X^*$. Tenemos que demostrar que converge en $X^*$. Como $\hat{X}$ es denso en $X^*$, para todo $n$ natural existe $\hat{x_n}\in \hat{X}$ tal que $d^*(\hat{x_n},\alpha_n) < 1/n$. Por la parte (i) del apartado anterior, la sucesión $(\hat{x_n})$ es también de Cauchy en $X^*$ con lo cual lo será $(x_n)$ en $X$ por ser $X$ y $\hat{X}$ isométricos. Por el apartado 6, $(\hat{x_n})\to x\in X^*$ y por la parte (ii) del apartado anterior también $(\alpha_n)\to x$.
9. Sea $Y^*$ una completación de $X$. Al ser $X$ isométrico a un subespacio denso de $Y^*$, podemos asumir que $X$ es subespacio de $Y^*$. Al ser $X$ denso en $Y^*$, para todo $y\in Y^*$ existe una sucesión $(x_n)$ de $X$ que converge a $y$ con lo cual $(x_n)$ es de Cauchy. Definamos la aplicación $$g:Y^*\to X^*,\quad g(y)=[(x_n)].$$ La aplicación está bien definida pues si $(x’_n)$ es otra sucesión tal que $(x’_n)\to y$, entonces $d(x_n,x’_n)\to 0$ y por tanto $[(x’_n)]=[(x_n)]$. Sean ahora $y, y’\in Y^*$ con $(x_n)\to y$, $(x’_n)\to y’$. Entonces, $$g(y)=g(y’)\Rightarrow [(x_n)]=[(x’_n)]\Rightarrow \lim\;d(x_n,x’_n)=0\Rightarrow y=y’$$ luego $g$ es inyectiva. También es sobreyectiva. En efecto, si $[(x_n)]\in X^*$ la sucesión $(x_n)$ es de Cauchy en $X\subset Y^*$ por tanto $(x_n)$ converge a un $y\in Y^*$, luego $[(x_n)]=g(y).$ Por último, para todo $y,y’\in Y^*$ $$d^*\left(f(y),f(y’)\right)=d^*\left([(x_n)],[(x’_n)]\right)=\lim d(x_n,x’_n)$$ $$=d\left(\lim x_n,\lim x’_n\right)=d(y,y’)$$ es decir, $g$ es isometría.
10. De la conocida construcción de los números reales vía sucesiones de Cauchy racionales, deducimos que la completación de $\mathbb{Q}$ es $\mathbb{Q}^*=\mathbb{R}$.