Definimos la derivada aritmética entera y demostramos que generaliza a la definida en los naturales.
- Demostrar que esta definición generaliza la derivada aritmética en $\mathbb{N}$.
- Demostrar que $(-n)^\prime=-n^\prime$ para todo $n\in\mathbb{Z}$, y que se verifica la regla de Leibniz.
- Calcular $(-60)^{\prime}$.
Enunciado
Se llama función derivada aritmética en los enteros $\mathbb{Z}$ a la función $n^{\prime}:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ dada por
$(1)\;$ $0^{\prime}=1^{\prime}=(-1)^{\prime}=:0$.
$(2)\;$ Si $n=up_1p_2\cdots p_k$ con $u=\pm 1$ y los $p_i$ son primos (alguno de ellos puede estar repetido), entonces $n^{\prime}:=u\sum_{i=1}^kp_1\cdots p_{i-1}p_{i+1}\cdots p_k .$
Nótese que si $p$ es primo, entonces $k=1$ y el producto anterior es vacío, por tanto $p^\prime=1.$
Se llama función derivada aritmética en los enteros $\mathbb{Z}$ a la función $n^{\prime}:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ dada por
$(1)\;$ $0^{\prime}=1^{\prime}=(-1)^{\prime}=:0$.
$(2)\;$ Si $n=up_1p_2\cdots p_k$ con $u=\pm 1$ y los $p_i$ son primos (alguno de ellos puede estar repetido), entonces $n^{\prime}:=u\sum_{i=1}^kp_1\cdots p_{i-1}p_{i+1}\cdots p_k .$
Nótese que si $p$ es primo, entonces $k=1$ y el producto anterior es vacío, por tanto $p^\prime=1.$
- En efecto, para $n=0$ y $n=1$ coinciden y para $n\ge 2$ con descomposición $n=\prod_{i=1}^mP_i^{n_i}=1p_1p_2\cdots p_k$ tenemos $$n^{\prime}=n\sum_{i=1}^m\frac{n_i}{P_i}=p_1p_2\cdots p_k\left(\dfrac{1}{p_1}+\dfrac{1}{p_2}+\cdots+\dfrac{1}{p_k}\right)$$ $$=p_2p_3\cdots p_k+p_1p_3\cdots p_k+\ldots+p_1p_2\cdots p_{k-1}=1\sum_{i=1}^kp_1\cdots p_{i-1}p_{i+1}\cdots p_k.$$
- Son consecuencia inmediatas de la definición.
- $(-60)^{\prime}=-(60)^\prime=-\left(2^2\cdot 3\cdot 5\right)^{\prime}=-60\left(\frac{2}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)=-92.$
Solución
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