Cotas para la derivada aritmética natural

Proporcionamos cotas para la derivada aritmética natural.

Enunciado

Demostrar que para todo entero positivo $n$ se verifica $n^{\prime}\le \dfrac{n\log_2n}{2}.$
Demostrar que si $n=2^k$ la cota es exacta
Demostrar que si $n$ es el producto de $k$ factores, cada uno de ellos mayor que $1$, se verifica $n^\prime \ge kn^{\frac{k-1}{k}}.$
Demostrar que si $n=2^k$ la cota es exacta.
Demostrar que si $n > 1$ no es primo, entonces $n^\prime \ge 2\sqrt{n}.$

Solución

Si $n=1$ se verifica la desigualdad trivialmente. Si $n\ge 2$, sea $n=\prod_{i=1}^kp_i^{n_i}$ su descomposición en factores primos. Entonces, $$n\ge \prod_{i=1}^k2^{n_i}\Rightarrow \log_2n\ge \log_2 \prod_{i=1}^k2^{n_i}=\sum_{i=1}^kn_i.$$ $$\Rightarrow n^{\prime}=n\sum_{i=1}^k\dfrac{n_i}{p_i}\le n\sum_{i=1}^k\dfrac{n_i}{2}=\dfrac{n}{2}\sum_{i=1}^kn_i\le \dfrac{n\log_2n}{2}.$$
Tenemos $n^\prime=n\cdot \dfrac{k}{2}=\dfrac{n\log_22^k}{2}=\dfrac{n\log_2n}{2}.$
Sea $n=n_1n_2n_3\cdots n_k$ con $n_i\ge 2$ para todo $i=1,\ldots,k$. Aplicando la regla de Leibniz y que $n_i^\prime \ge 1$ para todo $i$,$$n^\prime=n_1^\prime n_2 n_3\cdots n_k+n_1 n_2^\prime n_3\cdots n_k+\ldots+n_1 n_2 n_3\cdots n_k^\prime$$ $$\ge n_2 n_3\cdots n_k+n_1 n_3\cdots n_k+\ldots+n_1 n_2 n_3\cdots n_{k-1}$$ $$=n\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}+\ldots+\dfrac{1}{n_k}\right).$$ Usando que la media aritmética es mayor o igual que la geométrica, $$n^\prime \ge nk\left(\dfrac{1}{n_1}\cdot\dfrac{1}{n_2}\cdot\ldots\cdot\dfrac{1}{n_k}\right)^{1/k}=knn^{-1/k}=kn^{\frac{k-1}{k}}.$$
Tenemos $n^\prime=2^k\dfrac{k}{2}=k2^{k-1}=k\left(2^k\right)^{\frac{k-1}{k}}=kn^{\frac{k-1}{k}}.$
Si $n > 1$ no es primo, es el producto de $k\ge 2$ factores mayores que 1, por tanto $n^\prime \ge kn^{\frac{k-1}{k}}\ge 2n^{\frac{2-1}{2}}=2\sqrt{n}.$