La conjetura de los primos gemelos, no resuelta a día de hoy se enuncia como existen infinitos pares de números gemelos, es decir infinitos pares $(p,p+2)$ con $p$ y $p+2$ primos. Proporcionamos una condición necesaria para que la conjetura sea cierta en términos de una ecuación diferencial aritmética.
Enunciado
Demostrar que si la conjetura de la infinitud de los primos gemelos es cierta, entonces la ecuación diferencial aritmética $n^{\prime\prime} =1$ tiene infinitas soluciones.
Solución
Si la conjetura de los primos gemelos es cierta, entonces existen infinitos pares de primos de la forma $p,p+2$. Si $n=2p$, tenemos $n^\prime=(2p)^\prime=2^\prime p+2p^\prime=p+2.$ Pero al ser $p+2$ primo, $n^{\prime\prime}=(p+2)^\prime=1$.
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