La ecuación diferencial aritmética $n^\prime=n$

Derivada aritmética (menú)

Resolvemos la ecuación diferencial aritmética $n^\prime=n$. Para ello, demostramos propiedades previas.

Enunciado
1. Demostrar que si $n=p^pm$ con $p$ primo y $m > 1$ natural, entonces $n^\prime=p^p(m+m^\prime)$ y $\lim_{k\to \infty}n^{(k)}=\infty.$
2. Sea $n$ número natural y $p^k$ la mayor potencia del primo $p$ tal que $p^k\mid n$. Si $0 < k < p$, demostrar que $p^{k-1}$ es la mayor potencia de $p$ tal que $p^{k-1}\mid n^\prime$ y que todas las derivadas $n^\prime,$ $n^{\prime\prime},$ $\ldots,$ $n^{(k)}$ son distintas.
3. Demostrar que si $n=p^{pk}m$ para algún primo $p$ y enteros $k,m > 1$, entonces $n^\prime=p^{pk}(km+m^\prime )$.
4. Sea $n\ge 2$ entero. Demostrar que: $n$ está libre de cuadrados $\Leftrightarrow (n,n^\prime)=1$.
5. Demostrar que todas las soluciones de la ecuación $n^\prime=n$ son $n=0$ y $n=p^p$ con $p$ primo.

Solución
1. Tenemos $n^\prime=(p^pm)^\prime=(p^p)^\prime m+p^pm^\prime=p^p\cdot\frac{p}{p}\cdot m+p^p m^\prime=p^p(m+m^\prime).$ Dado que $(p^p)^{(i)}=p^p$ para todo $i\ge 0$ y usando la fórmula de la derivada $k$-ésima del producto, $$\left(p^pm\right)^{(k)}=\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(p^p)^{(k-i)}m^{(i)}=p^p\left(m+km^\prime+\cdots\right)$$ $$\ge p^pm+kp^pm^\prime \ge p^pm+k=n+k\Rightarrow \lim_{k\to \infty}n^{(k)}=\infty.$$
2. Como $p^k\mid n$, podemos escribir $n=p^km$. Derivando, $n^\prime=kp^{k-1}m+p^km^\prime=p^{k-1}(km+pm^\prime)$, es decir $p^{k-1}\mid n^\prime$. No puede ocurrir $p^k\mid n^\prime$ pues si así fuera, $$p^k\mid n^\prime\Rightarrow p^k\mid p^{k-1}(km+pm^\prime)\Rightarrow p \mid km+pm^\prime,$$ lo cual es absurdo pues $k < p$ y $m$ no contiene el factor $p$. Deducimos además que $n^{\prime\prime}$ sólo puede ser divisible por $p^{k-2}$, etc. Esto asegura que las derivadas $n^\prime,$ $n^{\prime\prime},$ $\ldots,$ $n^{(k)}$ son distintas.
3. Tenemos $(p^{pk}m)^\prime=pkp^{pk-1}m+p^{pk}m^\prime=p^{pk}(km+m^\prime)$.
4. $\Rightarrow)$ Si $(n,n^\prime)\ne 1$, existe primo $p$ tal que $p\mid n$ y $p\mid n^\prime$ y según el apartado 2, $p^2\mid n$ (absurdo).
   $\Leftarrow)$ Si existe primo $p$ tal que $p^2|n$, por el apartado 2, $p\mid n^\prime$ con lo cual $(n,n^\prime)\ne 1$ (absurdo).
5. Se verifica $0^\prime =0$ y $(p^p)^\prime=pp^{p-1}p^\prime=p^p$, luego $0$ y $p^p$ son soluciones de la ecuación.Sea $n\ne 0$ y $n^\prime=n$, con lo cual ha de ser $n\ge 2$. Sea $p$ alguno de los factores primos que aparecen en la factorización de $n$. Entonces, $p\mid n$ y veamos que al menos $p^p\mid n$. En efecto si $p^k$ con $0 < k < p$ fuera la mayor potencia que divide a $n$, entonces y según el apartado 2, $p^{k-1}$ sería la mayor potencia que divide a $n^\prime =n$ lo cual es absurdo.
   Pero si $p^p\mid n$ tenemos $n=p^pm$ con $m \ge 1$. Si fuera $ m > 1$ y por el apartado 1, $n^\prime$ $=$ $p^p\left( m+m^\prime\right)$ $=$ $p^pm$ implica $m^\prime =0$ y por tanto $m=1$, lo cual es es una contradicción. Ha de ser pues $m=1$ con lo cual necesariamente $n=p^p$.