Extensión finita y algebraica

Definimos los conceptos de extensión finita y algebraica y demostramos que toda extensión finita es algebraica. También proporcionamos un contraejemplo que prueba que el recíproco es falso.

Enunciado
Sea $K/k$ una extensión de cuerpos. Se dice que $K$ es extensión finita de $k$ si $[K:k]$ es finito. Se dice que $K$ es extensión infinita de $k$ si $[K:k]=\infty.$
Se dice que $K$ es extensión algebraica de $k$ si todo $\alpha\in K$ es algebraico sobre $k.$
1. Demostrar que toda extensión finita $K$ de $k$ es algebraica.
2. Sea $K/k$ una extension de cuerpos. Demostrar que el conjunto $A$ de los elementos $a\in K$ que son algebraicos sobre $k$ es un cuerpo tal que $k\subset A\subset K$. Al cuerpo $A$ se le llama clausura algebraica de $k$ en $K.$
3. Sea la extensión $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ y sea $A$ la clausura algebraica de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$. Demostrar que $[A:\mathbb{Q}]=\infty$ (esto prueba que no toda extensión algebraica es finita).

Solución
1. Si $[K:k]=\nu$ y $\alpha\in K.$ Los $\nu +1$ elementos $e=\alpha^0,\alpha,\ldots, \alpha^\nu$ de $K$ son linealmente dependientes sobre $k$ y por tanto existen elementos $a_0,a_1,\ldots,a_n$ de $k$ no todos nulos tales que $a_0+a_1\alpha+\ldots+a_n\alpha^n=0$ es decir, $\alpha$ es algebraico sobre $k.$
2. Sean $a,b\in A$. Por ser $a$ algebraico sobre $k$ la dimensión $[k(a):k]$ es finita. Por ser $b$ algebraico sobre $k$ lo es sobre $k(a)$ y por tanto, la dimensión $[k(a)(b):k(a)]$ es finita. En consecuencia $k(a,b)=k(a)(b)$ tiene dimensión finita sobre $k$, luego $k(a,b)$ es extensión algebraica de $k$. Al ser $a,b\in k(a,b)$ y $k(a,b)$ cuerpo, se verifica que $a+b$, $ab$ y $a^{-1}$ (si $a\ne 0$) son elementos de $k(a,b)$ y por tanto algebraicos sobre $k$. En consecuencia, $a,b\in A$ implica que $a+b$, $ab$ y $a^{-1}$ (si $a\ne 0$) son elementos de $A$, luego $A$ es cuerpo y trivialmente se verifica $k\subset A \subset K$.
3. En efecto, los números $\sqrt[n]{2}$ son algebraicos para todo entero $n\ge 1.$ El polinomio $f_n(x)=x^n-2$ es mónico y anula a $\sqrt[n]{2}$. También es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ como inmediatamente se comprueba aplicando el criterio de Eisenstein con $p=2.$ Es decir, $f_n$ es polinomio mínimo de $\sqrt[n]{2}$ sobre $\mathbb{Q}$ con lo cual $[\mathbb{Q}(\sqrt[n]{2}):\mathbb{Q}]=n.$ Al ser $n$ arbitrario, la extensión $A/\mathbb{Q}$ no puede ser finita.