Polinomio mínimo de un elemento algebraico

Definimos el concepto de polinomio mínimo de un elemento algebraico y estudiamos alguna de sus propiedades.

1. Definición Sea $K/k$ una extensión de cuerpos y $\alpha\in K$ algebraico sobre $k.$ Sea $p(x)=x^\nu+\ldots +a_1x+a_0\in k[x]$ el polinomio de menor grado y mónico que anula a $\alpha.$ Al polinomio $p(x)$ se le llama polinomio mínimo de $\alpha$ y a $\nu$, grado de $\alpha$ sobre $k.$
2. Nota. El polinomio mínimo es irreducible en $k[x]$ pues en otro caso existirían dos elementos no nulos de $k$ cuyo producto es nulo. En consecuencia, un polinomio $p(x)\in k[x]$ es polinomio mínimo de $\alpha$ si y sólo si es mónico, irreducible en $k[x]$ y $p(\alpha)=0.$
3. Teorema. Sea $K/k$ una extensión de cuerpos y $\alpha\in K$ algebraico sobre $k.$ Entonces, $[k(\alpha):k]=\nu$ y una base de $k(\alpha)$ sobre $k$ es $$B=\{1,\alpha,\ldots,\alpha^{\nu-1}\}.$$ Demostración. Todo elemento de $k(\alpha)=k[\alpha]$ es de la forma $f(\alpha)$ con $f(x)\in k[x].$ Efectuando la división euclídea de $f(x)$ entre $p(x)$ obtenemos $f(x)=p(x)q(x)+r(x)$ con $\text{grad }r(x) < \nu.$ Es decir, $$f(\alpha)=p(\alpha)q(\alpha)+r(\alpha)=r(\alpha)=c_0+c_1\alpha+\ldots+c_{\nu-1}\alpha^{\nu -1}$$ con los $c_i\in k$, lo cual prueba que $B$ es sistema generador de $k(\alpha).$ También $B$ es sistema libre pues si existieran $c_0,c_1,\ldots,c_{\nu-1}$ elementos de $k$ no todos nulos tales que $c_0+c_1\alpha+\ldots+c_{\nu-1}\alpha^{\nu -1}=0$ entonces $p(x)$ no sería el polinomio mínimo de $\alpha.$ Concluimos que $B$ es base de $k(\alpha)$ sobre $k$ y por tanto $[k(\alpha):k]=\nu.$
4. Ejemplo. En $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$, el polinomio $p(x)=x^2-2$ es polinomio mínimo del elemento algebraico $\alpha=\sqrt{2}$ pues $p(x)$ es mónico, irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ y $p(\alpha)=0.$ Una base del $\mathbb{Q}$-espacio vectorial $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es por tanto $\{1,\sqrt{2}\}.$
5. Ejemplo. En $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$, sea $\alpha\in\mathbb{C}$ tal que $\alpha^3-3\alpha+1=0.$ El polinomio $$p(x)=x^3-3x+1\in\mathbb{Q}[x]$$ es mónico y satisface $p(\alpha)=0.$ También es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ pues es de tercer grado y no tiene raíces en $\mathbb{Q}.$ Por tanto, $p(x)$ es polinomio mínimo del elemento algebraico $\alpha$ y una base del $\mathbb{Q}$-espacio vectorial $\mathbb{Q}(\alpha)$ es $\{1,\alpha,\alpha^2\}.$
6. Teorema. Sea $K/k$ una extensión de cuerpos y $\alpha\in K$. Entonces, $$\alpha\text{ es algebraico sobre }k\Leftrightarrow [k(\alpha):k]\text{ es finita.}$$ Demostración. $\Rightarrow)$ Esta implicación se vio en el teorema 3.
   $\Leftarrow)$ Sea $[k(\alpha):k]=m$ finita. Entonces, $\{1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^m\}$ es sistema linealmente dependiente, lo cual implica que existen escalares $c_0,c_1,\ldots,c_m$ en $k$ no todos nulos tales que $c_0+c_1\alpha+\ldots+c_m\alpha^m=0$. El polinomio $$f(x)=c_0+c_1x+\ldots+c_mx^m\in k[x]$$ es no nulo y $f(\alpha)=0$, luego $\alpha$ es algebraico sobre $k$.