Cuerpo de descomposición

Definimos el concepto de cuerpo de descomposición de un polinomio y proporcionamos algunos ejemplos.

Sea un polinomio $f(x)\in k[x]$ irreducible y de grado $\ge 2.$ Si $\sum_1=k(\xi_1)$ es un cuerpo de ruptura de $f(x)$ entonces, $f(x)=(x-\xi_1)q(x)$ con $q(x)\in k(\xi_1)[x]$. Si en la descomposición de factores irreducibles de $f(x)$ en $\sum_1[x]$ no todos los factores son lineales podemos considerar el cuerpo de ruptura $\sum_2=k(\xi_2)$ de uno de tales factores y realizar la descomposición de $f(x)$ en $\sum_2.$
En ésta última extensión, aparecen más factores lineales de $f(x)$ que en $\sum_1.$ Reiterando el proceso, llegamos después de un número finito $\lambda$ de operaciones a un cuerpo $\sum_\lambda$ sobre el cual $f$ se descompone enteramente en factores lineales.
Vamos a definir lo que se denomina cuerpo de descomposición de $f(x)$ sobre $k$, es decir una extensión $\Delta$ de $k$ tal que $\Delta$ sea minimal entre la que permiten una descomposición total de $f(x)$ en factores lineales.
1. Definición. Sea $k$ un cuerpo y $f(x)\in k[x].$ Un cuerpo $\Delta$ extensión de $k$ se dice que es cuerpo de descomposición de $f(x)$ sobre $k$ si se verifican las dos condiciones:
   $(i)\;\;$ $f(x)$ se descompone totalmente en factores lineales en $\Delta [x].$
   $(ii)$ Sobre cualquier cuerpo $K$ con $k\subsetneq K\subsetneq \Delta $, el polinomio $f(x)$ no se descompone totalmente en factores lineales de $K[x].$
2. Ejemplo. El cuerpo de descomposición de $x^2-2\in \mathbb{Q}[x]$ es $\mathbb{Q}(\sqrt{2}).$ En efecto, en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[x]$ tenemos $f(x)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ y al ser $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$ no existen cuerpos $K$ tales que $\mathbb{Q}\subsetneq K \subsetneq \mathbb{Q}(\sqrt{2}).$
3. Nota. Si $f(x)\in k[x]$ ya se descompone totalmente en factores lineales en $k[x]$ se toma $\Delta=k$, ahora bien, en este caso puede ser interesante estudiar si $k$ se puede reemplazar por el menor subcuerpo $k^\prime$ de $k$ que contiene a todos los coeficientes de $f(x)$ ($k^\prime$ sería la intersección de todos los subcuerpos de $k$ que contienen a tales coeficientes), y buscar un cuerpo de descomposición $\Delta^\prime$ de $f(x)\in k^\prime [x].$ Por ejemplo, para $f(x)=x^2-2\in k[x]$ con $k=\mathbb{R}$ tenemos $\Delta =\mathbb{R}$ y para $f(x)=x^2-2\in k^\prime[x]$ con $k^\prime=\mathbb{Q}$ tenemos $\Delta^\prime=\mathbb{Q}(\sqrt{2}).$
4. Teorema. Sea $k$ un cuerpo, $f(x)\in k[x]$ de grado $n$ y $K$ una extensión de $k.$ Si $K$ contiene raíces $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ de $f(x),$ entonces $\Delta=k(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ es el cuerpo de descomposición de $f(x).$
   Demostración. El polinomio $f(x)$ factoriza en $\Delta [x]$ en la forma $f(x)=a(x-\alpha_1)\cdot\ldots \cdot (x-\alpha_n)$ con $a\in\Delta.$ Si $K$ es un cuerpo tal que $k\subsetneq K\subsetneq \Delta $ entonces, $K$ no contiene alguna raíz $\alpha_i.$ Esto significa que $f(x)$ no se descompone totalmente en $K[x]$ en factores lineales (si así lo fuera, $\alpha_i$ sería raíz de alguno de los factores lineales, lo cual es imposible pues $\alpha_i\notin K).$
5. Nota. El teorema anterior garantiza que si podemos encontrar «todas» las raíces de $f(x)$ en alguna extensión de $k$ entonces podemos hallar fácilmente el cuerpo de descomposición de $f(x).$ Esto es interesante por ejemplo para polinomios de $\mathbb{Q}[x]$ pues a menudo es fácil encontrar sus raíces en $\mathbb{C}.$
6. Ejemplo. Consideremos el polinomio $x^3-2\in\mathbb{Q}[x].$ Entonces, $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ no es el cuerpo de descomposición de $x^3-2$, pues tenemos $x^3-2=(x-\sqrt[3]{2})(x^2+\sqrt[3]{2} x+(\sqrt[3]{2})^2)$ y las raíces del polinomio $x^2+\sqrt[3]{2} x+(\sqrt[3]{2})^2$ son complejas: $\sqrt[3]{2}(-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i).$ Por tanto, el cuerpo de descomposición de $x^3-2\in\mathbb{Q}[x]$ es $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)$ que admite las simplificación $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt{3}i).$
7. Ejemplo. Las raíces de $(x^2-3)(x^2-5)\in\mathbb{Q}[x]$ son $\pm\sqrt{3}$ y $\pm\sqrt{5}$ y por tanto su cuerpo de descomposición es $\Delta=\mathbb{Q}(\pm\sqrt{3},\pm\sqrt{5})$ que se puede escribir en la forma $\Delta=\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5}).$
8. Ejemplo. El polinomio $x^4+4\in\mathbb{Q}[x]$ se descompone en factores irreducibles en la forma $x^4+4=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2).$ Las raíces del primer factor son $-1\pm i$ y las del segundo, $1\pm i.$ Adjuntamdo estas cuatro raíces a $\mathbb{Q}$, obtenemos el cuerpo de descomposición $\Delta$ de $x^4+4\in\mathbb{Q}[x]$ que se puede expresar en la forma $\Delta=\mathbb{Q}(i).$