Cuerpo fijo asociado a un subgrupo de automorfismos

Estudiamos el concepto de cuerpo fijo asociado a un subgrupo de automorfismos.

1. Teorema. Sea $K$ un cuerpo y $H$ un subconjunto de $\text{Aut}\left(K\right).$ Entonces, el conjunto formado por los elementos de $K$ que quedan invariantes por todos los elementos de $H$ es un subcuerpo de $K.$
   Demostración. Sea $F=\{x\in K:\tau (x)=x\;\;\forall \tau\in H\}.$ Veamos que $F$ es subcuerpo de $K.$ Tenemos $\tau (0)=0$ para todo $\tau\in H$ es decir, $0\in F.$ Para todo $x,y\in F$ y para todo $\tau\in H$ tenemos $\tau (x-y)=\tau (x)-\tau (y)=x-y$ luego $x-y\in F.$ Hemos demostrado que $(F,+)$ es subgrupo de $(K,+).$
   Por otra parte tenemos $\tau (1)=1$ para todo $\tau\in H$ es decir, $1\in F.$ Para todo $x,y\in F-\{0\}$ y para todo $\tau\in H$ tenemos $\tau (xy^{-1})=\tau (x)\tau (y)^{-1}=xy^{-1}$ luego $xy^{-1}\in F-\{0\}.$ Hemos demostrado que $(F-\{0\},\cdot)$ es subgrupo de $(K-\{0\},\cdot).$ Concluimos que $F$ es subcuerpo de $K.$
2. Definición. Sea $K$ un cuerpo y $H$ un subgrupo de $\text{Aut}\left(K\right).$ Al subcuerpo de $F$ formado por los elementos que quedan fijos por todos los elementos de $H$ se llama subcuerpo fijo de $H.$
3. Teorema. $(1)$ Si $K_1\subset K_2\subset K$ son subcuerpos de $K$, entonces $\text{Aut}\left(K/K_2\right)\subset$ $\text{Aut}\left(K/K_1\right).$
   $(2)$ Si $H_1\le H_2\le\text{Aut}\left(K\right)$ son dos subgrupos de automorfismos con subcuerpos fijos asociados $F_1$ y $F_2$ respectivamente, entonces $F_2\subset F_1.$
   Demostración. $(1)$ Si $\tau\in \text{Aut}\left(K/K_2\right)$, entonces $\tau (x)=x$ para todo $x\in K_2$ y como $K_1\subset K_2$, también $\tau (x)=x$ para todo $x\in K_1.$ Es decir, $\tau\in \text{Aut}\left(K/K_1\right).$
   $(2)$ Si $x\in F_2$, entonces es anulado por todo automorfismo de $H_2$ y como $H_1\subset H_2$, también es anulado por todo automorfismo de $H_1.$ Es decir, $x\in F_1.$
4. Ejemplo. Determinar el cuerpo fijo de $H=\text{Aut}\left(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\right).$
   Solución. En este caso, $H=\text{Aut}\left(K\right)$ y según vimos (ejemplo 2) $H=\text{Aut}\left(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\right)$ $=\{id,\sigma\}$ con $\sigma (a+b\sqrt{2})$ $=a-b\sqrt{2}.$ El cuerpo fijo $K$ de $H$ está formado por los elementos $a+b\sqrt{2}$ de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ que quedan fijos por $id$ y $\sigma$, es decir $$\begin{aligned}& id( a+b\sqrt{2})=a+b\sqrt{2},\\
   & \sigma( a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}=a+b\sqrt{2},
   \end{aligned}$$ que ocurre para $b=0.$ Por tanto, el cuerpo fijo de $\text{Aut}\left(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\right)$ es $\mathbb{Q}.$
5. Ejemplo. Determinar el cuerpo fijo de $H=\text{Aut}\left(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\right).$
   Solución. En este caso, $H=\text{Aut}\left(K\right)$ y según vimos (ejemplo 3) $H=\text{Aut}\left(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\right)=$ $\{id\}.$ La identidad deja fijo todo elemento de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ por tanto, el cuerpo fijo de $\text{Aut}\left(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\right)$ es $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}).$