Isomorfismo entre el grupo multiplicativo complejo y un producto directo

Demostramos que el grupo multiplicativo de los números complejos $\mathbb{C}^\ast$ es isomorfo al producto directo $\mathbb{ R }_{> 0} \times \mathbb R/\mathbb Z$.

Enunciado
Sean $\mathbb{ C }^{ \ast }$ el grupo multiplicativo de los números complejos, $\mathbb{ R }_{> 0}$ el grupo multiplicativo de los números reales postitivos y el grupo cociente $\mathbb R/\mathbb Z$. Demostrar que $\mathbb{ C }^{ \ast }\cong \mathbb{ R }_{> 0} \times \mathbb R/\mathbb Z$.

Solución
Veamos previamente que $\mathbb R/\mathbb Z$ es isomorfo al grupo multiplicativo $D=\left\{{e^{it}}:0\le t \le 2\pi\right\}$ de los números complejos de módulo $1.$ En efecto, la aplicación $f:\mathbb{R}\to D$ dada por $f(t)=e^{2\pi i t}$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{R},+)$ y $(D,\cdot)$ pues para todo $t,s\in\mathbb{R}$: $$f(t+s)=e^{2\pi i (t+s)}=e^{2\pi i t}e^{2\pi i s}=f(t)f(s).$$ El núcleo de $f$ es $\ker f=\mathbb{Z}$ y por un conocido teorema de isomorfía, $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong \text{Im }f=D.$

El problema se reduce pues a demostrar que $\mathbb{ C }^{ \ast }\cong \mathbb{ R }_{> 0} \times D$. Para todo $z\in\mathbb{C}^{\ast}$ definimos $$\Phi:\mathbb{C}^{\ast}\to \mathbb{ R }_{> 0}\times D,\quad \Phi (z)=\left(\left|z\right|,\dfrac{z}{\left|z\right|}\right).$$ Esta aplicación es homomorfismo de grupos. En efecto, para todo $z,\omega\in \mathbb{C}^\ast:$ $$\Phi (z\omega)=\left(\left|z\omega\right|,\dfrac{z\omega}{\left|z\omega\right|}\right)=\left(\left|z\right|,\dfrac{z}{\left|z\right|}\right)\cdot \left(\left|\omega\right|,\dfrac{\omega}{\left|\omega\right|}\right)=\Phi (z)\cdot \Phi (\omega).$$ Su núcleo es $\ker \Phi=\{z\in \mathbb{C}^\ast :\Phi (z)=(1,1)\}=\{1\}$ y por tanto es inyectiva. Todo elemento de $\mathbb{ R }_{> 0}\times D$ es de la forma $(r,e^{it})$ con $r>0$ y se verifica $(r,e^{it})=\Phi(re^{it}).$ El homomorfismo $\Phi$ es biyectivo, y por tanto $\mathbb{ C }^{ \ast }\cong \mathbb{ R }_{> 0} \times \mathbb R/\mathbb Z$.

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