Todo grupo de orden primo es cíclico

Demostramos que todo grupo de orden primo es cíclico y como aplicación determinamos todos los grupos de órdenes $n=1,2,3,5,7.$

1. Teorema. Sea $G$ un grupo tal que $|G|=p$ primo. Entonces, $G$ es grupo cíclico.

   Demostración. Como $|G|=p\ge 2$, el grupo tiene más de un elemento. Sea $g\in G$ con $g\ne e$ ($e$ elemento neutro de $G$). Entonces, el subgrupo $\langle g \rangle$ de $G$ contiene más de un elemento, y por el teorema de Lagrange $|\langle g \rangle|$ divide a $p.$ Como $p$ es primo, ha de ser necesariamente $|\langle g \rangle|=p=|G|$ lo cual implica que $G=\langle g \rangle.$ De esta manera, $G$ está generado por $g$, lo cual implica que $G$ es grupo cíclico.

2. Corolario. Los únicos grupos de órdenes $1,2,3,5,7$ son respectivamente $\{e\},$ $\mathbb{Z}_2,$ $\mathbb{Z}_3,$ $\mathbb{Z}_5,$ $\mathbb{Z}_7.$

   Demostración. Trivialmente, sólo existe un grupo de un elemento: $\{e\}$ (el formado por el elemento neutro). Por el teorema anterior, si $p\in\{2,3,5,7\}$ entonces todos los grupos de orden $p$ son isomorfos al ser cíclicos. En consecuencia, los únicos grupos de órdenes $1,2,3,5,7$ son respectivamente $\{e\},$ $\mathbb{Z}_2,$ $\mathbb{Z}_3,$ $\mathbb{Z}_5,$ $\mathbb{Z}_7.$