Grupos de orden 4

Demostramos que sólo existen dos grupos de orden $4:$ $\mathbb{Z}_4$ y $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ (grupo de Klein).

1. Teorema. $(a)$ En en el grupo de Klein $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ el simétrico de cada elemento coincide con el propio elemento.
   $(b)$ $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ no es cíclico.
   $(c)$ $\mathbb{Z}_4$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.
   Esto garantiza que existen al menos dos grupos de orden $4.$
   Demostración. $(a)$ Tenemos $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\}$ y se cumple $$(0,0)+(0,0)=(0,0),\quad (1,0)+(1,0)=(0,0),$$ $$(0,1)+(0,1)=(0,0),\quad (1,1)+(1,1)=(1,1),$$ lo cual implica que $$-(0,0)=(0,0),\;-(1,0)=(1,0),\;-(0,1)=(0,1),\;-(1,1)=(1,1),$$ es decir el simétrico de cada elemento coincide con el propio elemento.
   $(b)$ El elemento neutro es de orden $1$ y se cumple $$(1,0)+(1,0)=(0,0),\;(0,1)+(0,1)=(0,0),\;(1,1)+(1,1)=(0,0)$$ es decir, los restantes elementos son de orden $2,$ por tanto $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ no es cíclico.
   $(c)$ Trivialmente el grupo $\mathbb{Z}_4$ es cíclico y por el apartado anterior $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ no lo es, en consecuencia no pueden ser isomorfos. $\quad \square$
2. Teorema. Todo grupo de orden $4$ es o bien isomorfo a $\mathbb{Z}_4,$ o bien a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2.$
   Demostración. Sea $G$ un grupo de orden $4.$ Analizaremos dos casos.
   Caso 1: $G$ tiene un elemento de orden $4.$ En este caso, $G$ es cíclico y por tanto isomorfo a $\mathbb{Z}_4.$
   Caso 2: $G$ no tiene elementos de orden $4.$ Veamos que en este caso, $G$ es isomorfo al grupo de Klein $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2.$ Sea $G=\{e,a,b,c\}$ con $e$ el elemento neutro de $G.$ Como el orden de todo elemento divide al orden del grupo, se verifica necesariamente $$\text{ord }(e)=1,\;\text{ord }(a)=\text{ord }(b)=\text{ord }(c)=2.$$ Se verifica $ab=c.$ En efecto, si fuera $ab=e$ entonces $a=b^{-1}$. Pero al ser $b^2=e$ tenemos $b=b^{-1}$ lo cual implicaría $a=b$ (absurdo). Si fuera $ab=a$ entonces, $b=e$ (absurdo). Análogamente $ab=b$ implicaría $a=e$ (absurdo). Cambiado los papeles de $a,$ $b,$ y $c,$ el razonamiento anterior demuestra que el producto de cualquier par de elementos distintos de $\{a,b,c\}$ es el tercero. En consecuencia, las tabla de Cayley de $G$ y de $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ son $$\begin{array}{r|*{4}{r}}{\cdot}&e&a&b&c\\\hline
   {}e&e&a&b&c\\
   {}a&a&e&c&b\\
   {}b&b&c&e&a\\
   {}c&c&b&a&e
   \end{array}\qquad \quad\begin{array}{r|*{4}{r}}{+}&(0,0)&(1,0)&(0,1)&(1,1)\\\hline
   {}(0,0)&(0,0)&(1,0)&(0,1)&(1,1)\\
   {}(1,0)&(1,0)&(0,0)&(1,1)&(0,1)\\
   {}(0,1)&(0,1)&(1,1)&(0,0)&(1,0)\\
   {}(1,1)&(1,1)&(0,1)&(1,0)&(0,0)
   \end{array}$$ La aplicación $f:G\to \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ dada por $$f(e)=(0,0),\;f(a)=(1,0),\;f(b)=(0,1),\; f(c)=(1,1)$$ es claramente un isomorfismo. $\quad\square$
3. Corolario. Sólo existen dos grupos de orden $4:$ $\mathbb{Z}_4$ y $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2.$