Vamos a definir una operación suma en el conjunto de las cortaduras de Dedekind que le dotan de estructura de grupo abeliano y que contiene como subgrupo al grupo aditivo de los racionales.
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Definición. Sean $\mathbf{r},\mathbf{s}\in \mathbb{R}.$ Se define la suma $+$ de $\mathbf{r}$ y $\mathbf{s}$ como $$\mathbf{r}+\mathbf{s}=\{p+q: p\in \mathbf{r},q\in \mathbf{s}\}.$$
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Teorema. La operación $+$ es cerrada en $\mathbb{R}$, es decir $\mathbf{r}+\mathbf{s}$ es una cortadura de Dedekind.
Demostración. $(D1)$ Por ser $\mathbf{r},\mathbf{s}$ cortaduras existe $p\in \mathbf{r}$ y existe $q\in \mathbf{s}$ con lo cual $p+q\in \mathbf{r}+\mathbf{s}$ es decir, $\mathbf{r}+\mathbf{s}\ne \emptyset.$ Por ser $\mathbf{r},\mathbf{s}$ cortaduras existen $a,b$ racionales tales que $a > p$ para todo $p\in \mathbf{r}$ y $b > q$ para todo $q\in \mathbf{s}.$ Entonces, $a+b > p+q$ para todo $p\in \mathbf{r}$ y para todo $q\in \mathbf{s}$ luego $a+b\notin \mathbf{r}+\mathbf{s}.$ Por tanto, $\mathbb{Q}\setminus (\mathbf{r}+\mathbf{s})\ne\emptyset.$
$(D2)$ Sea $p\in \mathbf{r}+\mathbf{s}.$ Entonces, $p=r+s$ con $r\in \mathbf{r}$ y $s\in \mathbf{s}.$ Si $q < p$ entonces $q-s < r$ y por tanto $q-s\in \mathbf{r}.$ Tenemos $q=(q-s)+s$ con lo cual $q\in \mathbf{r}+\mathbf{s}.$
$(D3)$ Sea $p+q$ es un elemento de $\mathbf{r}+\mathbf{s}$ con $p\in \mathbf{r}$ y $q\in \mathbf{s}.$ Existen $u\in \mathbf{r}$ y $v\in \mathbf{s}$ tales que $p < u$ y $q < v.$ Entonces, $p+v < u + v \in \mathbf{r}+\mathbf{s}.$ $\quad\square$ -
Teorema. La operación $+$ en $\mathbb{R}$ es asociativa.
Demostración. Sean $\mathbf{r},\mathbf{s},\mathbf{t}\in\mathbb{R.}$ Si $a\in(\mathbf{r}+\mathbf{s})+\mathbf{t}$ entonces $a=p+q$ con $p\in \mathbf{r}+\mathbf{s}$ y $q\in \mathbf{t}.$ Pero $p=p_1+p_2$ con $p_1\in \mathbf{r}$ y $p_2\in \mathbf{s}.$ Por la propiedad asociativa de la suma en $\mathbb{Q},$ $$a=(p_1+p_2)+q=p_1+(p_2+q)\in \mathbf{r}+(\mathbf{s}+\mathbf{t})$$ es decir, $(\mathbf{r}+\mathbf{s})+\mathbf{t}\subset \mathbf{r}+(\mathbf{s}+\mathbf{t}).$ De manera análoga se demuestra que $\mathbf{r}+(\mathbf{s}+\mathbf{t})$ $\subset (\mathbf{r}+\mathbf{s})+\mathbf{t}$ lo cual prueba la propiedad asociativa de $+.$ $\quad\square$ -
Teorema. La operación $+$ en $\mathbb{R}$ es conmutativa.
Demostración. Para todo $\mathbf{r},\mathbf{s}\in\mathbb{R}$ y al ser la suma en $\mathbb{Q}$ es conmutativa, $\mathbf{r}+\mathbf{s}=\{p+q: p\in \mathbf{r},q\in \mathbf{s}\}=\{q+p:q\in \mathbf{s},p\in \mathbf{r}\}=\mathbf{s}+\mathbf{r}.$ $\quad\square$ -
Teorema. La cortadura $\mathbf{0^\ast}=\{x\in\mathbb{Q}: x < 0\}$ satisface $\mathbf{r}+\mathbf{0^\ast}=\mathbf{r}$ para todo $\mathbf{r}\in\mathbb{R}.$
Demostración. Si $a\in \mathbf{r}+\mathbf{0^\ast},$ entonces $a=p+x$ con $p\in \mathbf{r}$ y $x < 0$ es decir, $a < p$ y por tanto $a\in \mathbf{r}.$ Si $a\in \mathbf{r}$ existe $q\in \mathbf{r}$ tal que $a < q.$ Entonces, $a=q+(a-q)$ y al ser $a-q < 0$ se verifica que $a\in \mathbf{r}+\mathbf{0^\ast}.$ Concluimos que $\mathbf{r}+\mathbf{0^\ast}=\mathbf{r}.$ $\quad\square$ -
Definición. Si $\mathbf{r}\in \mathbb{R},$ se define $-\mathbf{r}:=\{q\in\mathbb{Q}:\exists p > q\text{ con }-p\in \mathbb{Q}\setminus\mathbf{r}\}.$
De forma equivalente, $-\mathbf{r}=\{q\in\mathbb{Q}:\exists x \in \mathbb{Q}_{>0}\text{ con }-q-x\notin \mathbf{r}\}.$ Es decir, algún número racional más pequeño que $-q$ no está en $\mathbf{r}.$ -
Teorema. Si $\mathbf{r}\in \mathbb{R},$ entonces $-\mathbf{r}$ es una cortadura de Dedekind.
Demostración. $(D1)$ Sea $q\in\mathbf{r}$ y $s\in\mathbb{Q}$ tal que $s > -q.$ Entonces, $-s < q$ con lo cual $-s\in\mathbf{r} $ y por tanto $-q\notin -\mathbf{r}.$ Es decir, $-\mathbf{r}\ne \mathbb{Q}.$ Sea ahora $u\in \mathbb{Q}\setminus \mathbf{r}.$ Dado que $-u > -u-1$ y $-(-u)=u\in \mathbb{Q}\setminus \mathbf{r},$ se verifica $-u-1\in -\mathbf{r}.$ Es decir, $-\mathbf{r}\ne \emptyset.$
$(D2)$ Si $q\in -\mathbf{r},$ entonces existe $p$ racional con $p > q$ y $-p\notin \mathbf{r}.$ Si $q^\prime$ es racional con $q^\prime < q,$ entonces $p > q^\prime$ con $-p\notin \mathbf{r},$ luego $q^\prime\in -\mathbf{r}.$
$(D3)$ Sea $q\in-\mathbf{r}$ y $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ tal que $-q-x\notin\mathbf{r}.$ Sea $t=q+(x/2).$ Entonces, $t>q$ y $-t-(x/2)=-q-x\notin\mathbf{r}$ con lo cual, $t\in-\mathbf{r}.$ -
Teorema. Para todo $\mathbf{r}\in\mathbb{R}$ se verifica $\mathbf{r}+(-\mathbf{r})=\mathbf{0^\ast}.$
Demostración. Sean $q_1\in\mathbf{r}$ y $q_2\in -\mathbf{r}.$ Existe $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ tal que $-q_2-x\notin\mathbf{r}.$ Entonces, $-q_2 > -q_2-x$ lo cual implica que $-q_2\notin\mathbf{r},$ con lo cual $-q_2 >q_1$ o bien $q_1+q_2 < 0.$ Es decir, $q_1+q_1\in\mathbf{0^\ast}.$ Hemos demostrado que $\mathbf{r}+(-\mathbf{r})\subset\mathbf{0^\ast}.$ Sea ahora $a\in\mathbf{0^\ast}.$ Entonces, $b=-a/2 > 0.$ Por la propiedad arquimediana de $\mathbb{Q},$ existe un entero $n$ tal que $nb\in\mathbf{r}$ y $(n+1)b\notin\mathbf{r}.$ Si $c=-(n+2)b$ entonces, $c\in -\mathbf{r}$ pues $-c-b=(n+1)b\notin\mathbf{r}.$ Podemos por tanto escribir, $$\underbrace{nb}_{\in\mathbf{r}}+\underbrace{c}_{\in-\mathbf{r}}=nb-(n+2)b=-2b=a$$ en consecuencia, $\mathbf{0^\ast}\subset\mathbf{r}+(-\mathbf{r}).$ $\quad\square$De los teoremas anteriores deducimos el siguiente corolario:
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Corolario. $\left(\mathbb{R}, +\right)$ es un grupo abeliano.
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Teorema. La aplicación $\varphi:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ dada por
$$\varphi (q)=\mathbf{q^\ast}=\{x\in\mathbb{Q}:x < q\}$$es homomorfismo entre los grupos $\left(\mathbb{Q},+\right)$ y $\left(\mathbb{R},+\right).$
Demostración. Para todo $q_1,q_2\in \mathbb{Q}$ tenemos que demostrar que $\varphi (q_1+q_2)=\varphi (q_1)+\varphi (q_2).$ Si $x\in \varphi (q_1+q_2),$ entonces $x < q_1+q_2.$ Elijamos $t$ tal que $2t=q_1+q_2-x,$ con lo cual $t > 0.$ Sean $q_1^\prime=q_1 -t$ y $q_2^\prime=q_2 -t.$ Se verifica $q_1^\prime\in \varphi (q_1)$ y $q_2^\prime\in \varphi (q_2)$ y además $x=q_1^\prime+q_2^\prime$ lo cual implica que $x\in \varphi (q_1)+\varphi (q_2).$
Sea ahora $x\in \varphi (q_1)+\varphi (q_2).$ Entonces $x=u+v$ con $u < q_1$ y $v < q_2,$ luego $x < q_1+q_2$ lo cual implica que $x\in \varphi (q_1+q_2)$Vimos (teorema 5) que la aplicación $\varphi$ es biyectiva. Entonces, $\varphi:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}_{\mathbb{R}}$ es isomorfismo con lo cual, la estructura del grupo aditivo $\mathbb{Q}$ se traslada da a su copia $\mathbb{Q}_{\mathbb{R}}.$ Obtenemos el siguiente corolario:
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Corolario. El grupo aditivo de los racionales es subgrupo del grupo aditivo de los reales.
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