Topología del orden

Definimos la topología del orden y proporcionamos ejemplos.

1. Definición. Sea $X$ un conjunto y $\le$ una relación de orden total en $X.$ Si $a,b\in X$ con $a < b$ se definen los subconjuntos de $X$: $$\begin{aligned} & (a,b)=\{x\in X: a < x < b\},\\ & (a,b]=\{x\in X: a < x \le b\},\\ & [a,b)=\{x\in X: a \le x < b\},\\ & [a,b]=\{x\in X: a \le x \le b\}, \end{aligned}$$ denominados respectivamente intervalo de extremos $a$ y $b$, abierto, semi-abierto por la izquierda, semi-abierto por la derecha y cerrado.

2. Teorema. Sea $X$ un conjunto totalmente ordenado con al menos dos elementos y $\mathscr{B}$ la colección de subconjuntos de $X$ de los siguientes tipos:
   $(1)$ Todos los intervalos abiertos $(a,b).$
   $(2)$ Todos los intervalos de la forma $[a_0,b)$ con $a_0$ elemento mínimo de $X$ (si tal elemento existe).
   $(3)$ Todos los intervalos de la forma $(a,b_0]$ con $b_0$ elemento máximo de $X$ (si tal elemento existe).
   Entonces, $\mathscr{B}$ es base para una topología en $X.$
   Demostración. Tenemos los siguientes casos,
   (a) Si $X$ no tiene elemento mínimo ni elemento máximo, $$\mathscr{B}=\{(a,b):a,b\in X, a < b\}.$$ (b) Si $X$ tiene elemento mínimo $a_0$ pero no máximo, $$\mathscr{B}=\{(a,b):a,b\in X, a < b\}\cup\{[a_0,b):b\in X\}.$$ (c) Si $X$ tiene elemento máximo $b_0$ pero no mínimo, $$\mathscr{B}=\{(a,b):a,b\in X, a < b\}\cup\{(a,b_0]:a\in X\}.$$ (d) Si $X$ tiene elemento mínimo $a_0$ y máximo $b_0$, $$\mathscr{B}=\{(a,b):a,b\in X, a < b\}\cup\{[a_0,b):b\in X\}\cup \{(a,b_0]:a\in X\}.$$ En cada caso, es claro que $\mathscr{B}$ recubre a $X$ y la intersección no vacía de elementos de $\mathscr{B}$ es de nuevo un elemento de $\mathscr{B},$ por tanto $\mathscr{B}$ es una base para una topología en $X.$

3. Ejemplos
   1) Si $X=\mathbb{R}$ con el orden usual, estamos en el caso (a) y la topología del orden es la topología usual de $\mathbb{R}$
   2) Si $X=\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\}$ con el orden usual, estamos en el caso (d) y la topología del orden es la topología usual de la recta ampliada $\overline{\mathbb{R}}.$
   3) Si $X=\mathbb{Z}_{ > 0}$ con el orden usual, estamos en el caso (b) y la topología del orden $T_o$ es la topología discreta. Para demostrarlo basta ver que los subconjuntos unitarios de $X$ son abiertos. Si $n > 1$ entonces $\{n\}=(n-1,n+1)\in T_0$ y por otra parte, $\{1\}=[1,2)\in T_o.$
   4) Si $X=\mathbb{Z}_{ < 0}$ con el orden usual, estamos en el caso (c) y de manera análoga a la del ejemplo anterior se demuestra que la topología del orden $T_o$ es la topología discreta.
   5) Sea $X=\{1,2\}\times \mathbb{Z}_{ > 0}.$ Para evitar el posible problema notacional entre par ordenado e intervalo abierto, a los elementos de $X$ los denotamos por $a\times b$ por tanto, $X=\{m\times n: m\in\{1,2\}, n\in \mathbb{Z}_{ > 0} \}.$ Consideremos en $X$ el orden lexicográfico es decir, $a\times b\le c\times d$ $\Leftrightarrow$ $a < b$ o ($a=c$ y $b\le d$), que según sabemos es un orden total. Denotando $a_1=1\times n$ y $b_n=2\times n$, podemos escribir el orden lexicocráfico en $X$ de la forma $$a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < b_1 < b_2 < b_3 < \ldots$$ por tanto, existe elemento mínimo $a_1$ y no existe elemento máximo. Ahora, la topología del orden en $X$ no es la topología discreta. En efecto, $\{b_1\}$ no es abierto pues cualquier abierto que contenga a $b_1$ ha de contener un elemento de la base que contiene a $b_1$ y por tanto ha de contener elementos de la sucesión $a_n.$