Potencia del continuo

Definimos el concepto de potencia del continuo y estudiamos alguna de sus propiedades.

1. Teorema. El intervalo $[0,1]$ no es numerable.
   Demostración. Por reducción al absurdo. Si $[0,1]$ es numerable, podemos escribir $[0,1]=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}.$ Consideremos los tres subintervalos de $[0,1]:$ $[0,1/3],$ $[1/3,2/3],$ $ [2/3,1].$ Cada uno de los intervalos tiene longitud $1/3$ y el elemento $x_1$ no puede estar en los tres intervalos. Sea $I_1=[a_1,b_1]$ uno de los tres intervalos tales que $x_1\notin I_1.$ Consideramos los tres subintervalos de $I_1:$ $[a_1,a_1+1/9],$ $[a_1+1/9,a_1+2/9],$ $[a_1+2/9,b_1]$ (nótese que $a_1+2/9 < a_1 + 1/3=b_1$). Cada uno de los intervalos anteriores tiene longitud $1/9.$ Sea $I_2$ uno de los tres intervalos anteriores tal que $x_2\notin I_2.$
   Continuando de esta manera, tenemos construida una sucesión de intervalos cerrados $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \ldots$ tales que $x_n\notin I_n$ para todo $n\in\mathbf{N}$ y la longitud de cada $I_n$ es $l(I_n)=1/3^n.$ Por el principio de los intervalos encajados, existe un número real $y\in [0,1]$ tal que $y$ pertenece a todos los intervalos $I_n$ (es además único pues $l(I_n)\to 0$). Pero $y\in [0,1]=\{x_1,x_2,\ldots\}$ implica que $y=x_m$ para algún $m\in\mathbf{N}$ y por construcción $y=x_m\notin I_m$ lo cual es una contradicción.
2. Definición. Se dice que un conjunto $X$ tiene la potencia del continuo o que tiene cardinalidad $\mathbf{c}$ si es equivalente al intervalo $[0,1].$
3. Lema. Los intervalos $(0,1),$ $[0,1)$ y $(0,1]$ tienen cardinalidad $\mathbf{c}.$
   Demostración. Si $A=[0,1]-\{0,1,1/2,1/3,\ldots\},$ entonces $$[0,1]=\{0,1,1/2,1/3,\ldots\}\cup A, \quad (0,1)=\{1/2,1/3,1/4,\ldots\}\cup A$$ y la aplicación $f:[0,1]\to (0,1)$ dada por $$f(x)= \left \{ \begin{matrix}
   \displaystyle 1/2 & \mbox{ si }& x=0\\ 1/(n+2) & \mbox{si}& x=1/n,\; (n\in\mathbf{N})\\
   x & \mbox{ si }& x\in A\end{matrix}\right.$$ es biyectiva, es decir $[0,1]\sim (0,1).$ La aplicación $g:[0,1]\to [0,1)$ dada por
   $$g(x)= \left \{ \begin{matrix}
   \displaystyle 1/(n+1) & \mbox{si}& x=1/n\;(n\in\mathbf{N})\\
   x & \mbox{ si }& x\ne 1/n\;(n\in\mathbf{N})\end{matrix}\right.$$ es biyectiva, es decir $[0,1]\sim [0,1).$ La aplicación $h:[0,1)\to (0,1]$ dada por $h(x)=1-x$ es biyectiva, en consecuencia $(0,1)\sim [0,1)\sim (0,1]\sim [0,1].$ Concluimos que los intervalos $(0,1),$ $[0,1)$ y $(0,1]$ tienen cardinalidad $\mathbf{c}.$
4. Teorema. Sean $a,b$ números reales con $a < b.$ Entonces, los intervalos $[a,b],$ $(a,b),$ $[a,b)$ y $(a,b]$ tienen cardinalidad $\mathbf{c}.$
   Demostración. Cada una de las siguientes funciones dadas por $f(x)=a+(b-a)x:$ $$\left[ 0,1 \right]\xrightarrow{f} \left[ a,b \right],\quad\left[ 0,1 \right)\xrightarrow{f} \left[ a,b \right),\quad \left( 0,1 \right)\xrightarrow{f} \left( a,b \right),\quad \left( 0,1 \right]\xrightarrow{f} \left( a,b \right]$$ es biyectiva. Usando el lema anterior y el que la relación $A\sim B$ es de equivalencia concluimos que los intervalos $[a,b],$ $(a,b),$ $[a,b)$ y $(a,b]$ tienen cardinalidad $\mathbf{c}.$
5. Teorema. $\mathbf{R}$ tiene cardinalidad $\mathbf{c}.$
   Demostración. Por el ejemplo 7 de Conjuntos equivalentes, $(-1,1)\sim \mathbf{R}$ y por el teorema anterior, $(-1,1)$ tiene cardinalidad $\mathbf{c},$ por tanto $\mathbf{R}$ tiene cardinalidad $\mathbf{c}.$