Orden en el conjunto de los cardinales

Definimos una relación de orden en el conjunto de los cardinales

1. Definición. Sea $\mathscr C$ la clase de todos los conjuntos. Sabemos que la relación en $\mathscr C,$ $A\sim B\Leftrightarrow$ existe una aplicación biyectiva de $A$ en $B,$ es de equivalencia. Si $A\sim B$ decimos que $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad o el mismo cardinal.

2. Nota. Al cardinal de un conjunto $A$ le denotamos por $\# A.$ Por tanto, si $A\sim B$ tenemos $\# A=\# B$ y si $[A]$ representa el elemento del conjunto cociente $\mathscr C/\sim$ al que pertenece $A,$ tiene sentido definir el cardinal de $[A]$ como $\# [A]=\# A$ y a cada elemento de $\mathscr C/\sim$ le llamamos cardinal.

3. Teorema. La relación en $\mathscr C/\sim$ dada por $\# [A]\le \# [B]\Leftrightarrow \exists B^*\subset B: A\sim B^*,$ está bien definida y es relación de orden.
   Demostración. Tenemos que demostrar que la relación no depende del representante elegido de cada clase. En efecto, supongamos que $[A]=[A_1]$, $[B]=[B_1]$ y que $\# [A]\le \# [B].$ Entonces, existe una aplicación biyectiva $F:A\to A_1,$ una aplicación biyectiva $G:B\to B_1$ y existe una aplicación biyectiva $f:A\to B^*$ con $B^*\subset B.$ Tenemos, $$A_1\mathop \to \limits^{F ^{ – 1} } A \mathop \to \limits^{ f } B^* \mathop \to \limits^ G G(B^*).$$ Las aplicaciones $F^{-1},$ $f$ y $G$ son biyectivas y por tanto $G\circ f\circ F^{-1}:A_1\to G(B^*)$ es biyectiva y $G(B^*)\subset B_1$ lo cual demuestra que $\# [A_1]\le \# [B_1].$ Veamos que la relación es de orden. Para todo $A\in \mathscr C$ la aplicación $id:A\to A\subset A$ es biyectiva y por tanto $\# [A] \le \# [A].$ Si $A,B\in \mathscr C$ con $\# [A] \le \# [B]$ y $\# [B] \le \# [A]$ entonces existen aplicaciones biyectivas $f:A\to B^*\subset B$ y $g:B\to A^*\subset A$ con lo cual las aplicaciones $f:A\to B$ y $g:B\to A$ son inyectivas. Por el Teorema de Cantor-Bernstein existe una aplicación biyectiva entre $A$ y $B,$ es decir $A\sim B$ y por tanto $\# [A]=\# [B].$
          Por último, si $A,B,C\in \mathscr C$ con $\# [A] \le \# [B]$ y $\# [B] \le \# [C]$ existen aplicaciones biyectivas $f:A\to B^*\subset B$ y $g:B\to C^*\subset C$ lo cual implica que $g\circ f: A\to C^*\subset C$ es inyectiva y por tanto, $\# [A] \le \# [C].$ Concluimos que la relación $\le$ en el conjunto de los cardinales es de orden.

4. Observación. Nótese que $[\emptyset]$ consta del único elemento $\emptyset.$ Por otra parte, para todo $B\in \mathscr C$ la aplicación vacía $f_\emptyset: \emptyset \to \emptyset \subset B$ es inyectiva. En efecto, $$\forall x,y \in \emptyset , x \neq y \Rightarrow f_\emptyset(x) \neq f_\emptyset(y)$$ pues al no haber elementos en el conjunto vacío la implicación anterior es cierta para cada par de elementos en el conjunto vacío (ninguno). Es decir, se verifica $\# [\emptyset] \le \# [B]$ para todo $B\in \mathscr C$ y por tanto, $\# [\emptyset]$ es elemento mínimo de la relación de orden definida.