Estructura de grupo en todo conjunto no vacío

Demostramos que en todo conjunto no vacío se puede definir una estructura de grupo.

Teorema. Sea $X$ un conjunto no vacío. Entonces, existe una operación binaria $\cdot$ en $X$ tal que $(X,\cdot)$ es grupo.

Demostración. Si $X$ es finito con cardinal $n,$ existe una biyección entre el conjunto $X$ y $\{0,1,\ldots,n-1\}.$ Ahora bien, $\mathbb{Z}_n=\{0,1,\ldots,n-1\}$ es grupo con la suma de clases residuales. Basta transportar la estructura de $\mathbb{Z}_n$ a $X$ por biyección.
        Si el conjunto es infinito, tomemos el grupo $G=\bigoplus_{i\in X}\mathbb{Z}$ con $\mathbb{Z}_i=\mathbb{Z}$ para todo $i\in X.$ Es claro que $G$ se puede considerar como todas las funciones $f\subset X\times \mathbb{Z}$ tales que $f$ es un conjunto finito. Por tanto, $G\subset X\times \mathbb {Z}.$ Por otra parte sabemos que el cardinal de todo conjunto infinito es igual al cardinal de la familia formada por sus subconjuntos finitos y que si un conjunto $X$ es infinito entonces, $|X|\cdot\aleph_0=|X|.$ En consecuencia, $$|G|\le|\{f\subseteq X\times\mathbb Z\mid f\text{ es un conjunto finito}\}|=|X\times\mathbb Z|=|X|\cdot\aleph_0=|X|.$$ Por tanto, $|G | \le |X|.$ Por otra parte, la aplicación $x \to \{( x,1)\}$ de $X$ en $G$ es inyectiva, es decir $|X|\le |G|$ y por el teorema de Teorema de Cantor-Bernstein, $|G|=|X|$ o de forma equivalente, existe una biyección entre $G$ y $X$ con lo cual basta transportar la estructura de grupo de $G$ a $X.$ Concluimos pues que en todo conjunto no vacío se puede definir una estructura de grupo.