RESUMEN. Definimos el concepto de dominio euclidiano y estudiamos algunas de sus propiedades.
- Definición. Se llama dominio euclídeo o euclidiano a un dominio de integridad $A$ en el que hay definida una aplicación $\varphi:A\setminus \{0\}\to \mathbb{Z}_{\ge 0}$ (llamada norma euclidiana ) cumpliendo las condiciones:
(i) Si $a, b \in A \setminus \{0\}$ y $b\mid a$, entonces $\varphi (b)\le \varphi (a)$
(ii) Si $a,b\in A$ con $b\ne0$, existen $q,r\in A$ tales que $$a=bq+r \text{ con } r=0 \text{ o } \varphi (r)<\varphi (b) \text{ si } r\ne 0.$$ - Ejemplo. Demostrar que para $\mathbb{K}$ cuerpo, $\mathbb{K}[x]$ es dominio euclidiano.
Solución. Efectivamente, $\mathbb{K}[x]$ es dominio de integridad y la aplicación $\varphi:\mathbb{K}[x]\setminus \{0\}$ dada por $\varphi (p)=\text{gr }p$ (grado de $p$) satisface las condiciones de la definición según el conocido teorema sobre la división euclídea de polinomios. - Ejemplo. Demostrar que $\mathbb{Z}$ es dominio euclidiano con $\varphi: \mathbb{Z}\setminus\{0\}\to\mathbb{Z}_{\ge 0}$, $\varphi (x)=\lvert x\rvert$ (valor absoluto de $x$).
Solución. Sabemos que $\mathbb{Z}$ es dominio de integridad. Si $a,b$ son enteros no nulos con $b\mid a$ entonces, $a=bc$ con $c$ entero no nulo, por tanto $$\varphi(a)=\varphi (bc)=\lvert bc \rvert=\lvert b \rvert\lvert c \rvert \underset{(\lvert c\rvert\ge 1)}{\ge} \lvert b \rvert=\varphi (b).$$ Sean ahora $a,b$ enteros con $b\ne 0$ y consideremos el subconjunto $X$ de $\mathbb{Z}$ $$X=\{a-xb:x\in\mathbb{Z}\}.$$ Es claro que $X$ tiene elementos no negativos. Sea $r=a-qb$ el elemento mínimo no negativo de $X.$ Veamos que $r= |r| < |b|$. En efecto, supongamos que fuera $r\ge |b|.$ Si $b>0$ entonces $r=a-qb\ge b$ luego
$$0\le a-qb-b=a-(q+1)b < r$$ lo cual contradice la elección de $r.$ Si $b<0$ entonces $r=a-qb\ge -b$ luego $$0\le a-qb+b=a-(q-1)b < r$$ lo cual también contradice la elección de $r.$ - Nota. Los elementos $q,r$ de la definición de dominio euclidiano no son necesariamente únicos, por ejemplo en $\mathbb{Z}$ y para $a=19, b=5$:$$19 = 5\cdot 3 + 4 \text{ con }|4|<|5|,\quad 19 = 5\cdot 4 – 1\text{ con } |-1|<|5|.
$$ - Ejemplo. Sea $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi:a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z}\}$ con las operaciones usuales de suma y producto de complejos.
(i) Demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo conmutativo y unitario (se llama anillo de los enteros de Gauss).
(ii) Demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es dominio euclidiano con la norma $\varphi(z)=|z|^2$.
Solución.
(i) Como $\mathbb{Z}[i]\subset \mathbb{C}$ y $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es anillo con las operaciones usuales $+$ y $\cdot$, bastará demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es subanillo de $\mathbb{C}$. Usamos el conocido teorema de caracterización de subanillos:
(a) $\mathbb{Z}[i]\neq \emptyset$. Esto es evidente, pues por ejemplo $0+0i\in\mathbb{Z}[i]$.
(b) Para cada par de elementos $a+bi$ y $c+di$ de $\mathbb{Z}[i]:$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$$ Dado que $a,b,c,d$ son enteros, también lo son $a-c$ y $b-d$ lo cual implica que la diferencia anterior pertenece a $\mathbb{Z}[i].$
(c) Para cada par de elementos $a+bi$ y $c+di$ de $\mathbb{Z}[i]:$ $$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$ Como $a,b,c,d$ son enteros, también lo son $ac-bd$ y $ad+bc$ lo cual implica que el producto anterior pertenece a $\mathbb{Z}[i]$. Hemos demostrado pues que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo con las operaciones usuales suma y producto de complejos. Dado que $\mathbb{C}$ es conmutativo, también lo es $\mathbb{Z}[i]$. Por otra parte $1=1+0i\in\mathbb{Z}[i]$. Concluimos que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo conmutativo y unitario.
(ii) El anillo $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es dominio de integridad, en consecuencia también lo es $\mathbb{Z}[i]$. Veamos que la aplicación $\varphi : \mathbb{Z}[i]\setminus\{0\}\to \mathbb{N},\;\varphi (z)=\left|z\right|^2$ cumple las condiciones para que $\mathbb{Z}[i]$ sea anillo euclidiano.
(a) Sean $z,w\in \mathbb{Z}[i]\setminus \{0\}$ tales que $z\mid w$, entonces, existe $z_1\in \mathbb{Z}[i]\setminus \{0\}$ tal que $w=zz_1$. Por tanto $$\varphi (z)=\left|z\right|^2\leq \left|z\right|^2\left|z_1\right|^2=\left|w\right|^2=\varphi (w)\Rightarrow \varphi (z)\leq \varphi (w). $$ (b) Sean $x,y\in\mathbb{Z}[i]$ con $y\neq 0$, entonces $x/y=u+iv$ con $u,v\in \mathbb{Q}$. Si $u$ y $v$ son enteros, $y\mid x$ y estamos en el caso (a). Supongamos pues que $u,v$ no son ambos enteros. Elijamos $m,n\in\mathbb{Z}$ tales que $\left|m-u\right|\leq 1/2$ y $\left|n-v\right|\leq 1/2$ y llamemos $q=m+ni$ y $r=x-cy$. Entonces:
$$ r=y(u+iv)-y(m+ni)=y[(u-m)+(v-n)i]$$ $$\Rightarrow \varphi (r)=\left|y\right|^2[(u-m)^2+(v-n)^2]$$ $$\leq \left|y\right|^2(1/4+1/4)=\left|y\right|^2/2< \left|y\right|^2 =\varphi (y).$$ Es decir, dados $x,y\in\mathbb{Z}[i]$ con $y\neq 0$ existen $q,r\in \mathbb{Z}[i]$ tales que $x=yq+r$ con $\varphi(r)<\varphi (y)$. Concluimos que $\mathbb{Z}[i]$ es un dominio euclidiano. - Teorema. Sea $A$ un dominio euclidiano con norma $\varphi.$ Entonces,
(1) Si $u$ es unidad de $A$, $\varphi (u)$ es el valor mínimo de $\varphi.$
(2) Si $a,b\in A\setminus \{0\}$ son asociados, entonces $\varphi (a)=\varphi (b).$
(3) Si $a,b\in A\setminus \{0\}$, $b\mid a$ y $\varphi (a)=\varphi (b)$, entonces $a$ y $b$ son asociados.
(4) Un elemento $a\in A\setminus \{0\}$ es una unidad si y sólo si $\varphi (a)=\varphi (1)$.
Solución.
(1) Si $u$ es unidad de $A$, existe $v\in A$ tal que $uv=1.$ Para todo $0\ne x\in A$ tenemos $x=1x=uvx=(vx)u$, es decir $u\mid x$ luego $\varphi (u)\le \varphi (x).$
(2) Existe unidad $u$ tal que $b=au$. Si $uv=1$, entonces $a=bv.$ Esto implica que $a\mid b$ y $b\mid a$ con lo cual $\varphi (a)\le \varphi (b)$ y $\varphi (b)\le \varphi (a).$
(3) Dividimos $b$ por $a$. Tenemos $b=aq+r.$ Si $r\ne 0$ entonces $\varphi (r) < \varphi (a).$ Como $b\mid a$ existe $b^\prime \in A$ tal que $a=bb^\prime.$ Por tanto $r=b-aq=b-bb^\prime q=(1-b^\prime q)b$. Esto implica que $\varphi(b)\le \varphi (r)$ lo cual contradice la hipótesis $\varphi (a)=\varphi (b).$ Es decir, $r=0$
Se verifica pues $b\mid a$ y $a\mid b$, luego existen $u,v$ elementos de $A$ tales que $a=bu$ y $b=av$. Entonces, $$b=buv\Rightarrow b-buv=0\Rightarrow b(1-uv)=0\Rightarrow 1-uv=0\Rightarrow uv=1.$$ Al ser $u,v$ unidades, $a$ y $b$ son asociados.
(4) Si $a$ es unidad en $A$, entonces existe $u\in A$ con $au=1$. Entonces, $u$ tambièn es unidad con lo cual $a$ y $1$ son asociados. Por el apartado (2), $\varphi (a)=\varphi (1)$. Recíprocamente, sea $\varphi (a)=\varphi (1)$. Como $1\mid a$, por el apartado (3) se deduce que $1$ y $a$ son asociados, es decir $a=1u=u$ con $u$ unidad. - Teorema. Todo dominio euclidiano es un dominio de ideales principales.
Demostración. Sea $A$ un dominio euclidiano y sea $I$ un ideal de $A.$ Vamos a demostrar que $I$ es principal. Si $I=(0)$ no hay nada que demostrar. Si $I\ne (0)$, sea $0\ne x\in I$ tal que la norma $\varphi (x)$ es mínima. Se verifica $(x)\subset I.$ Por otra parte, $I\subset (x).$ En efecto, si existiera $y\in I$ tal que $y\notin (x)$ entonces $y$ no se podría escribir en la forma $qx$ para algún $q\in A.$ Existen por tanto $q,r\in A$ tales que
$$y=qx+r,\; r\ne 0\text{ y }\varphi (r) < \varphi (x).$$ Pero $r=y-qx\in I$ lo cual contradice la elección de $x.$ - Corolario. Todo dominio euclidiano es un dominio de factorización única.
Demostración. Se deduce del hecho de que todo dominio ideales principales es un dominio de factorización única. - Nota. El recíproco del teorema anterior no es cierto. Se puede demostrar que $\mathbb{Z}[\theta]$ con $\theta:=(1+\sqrt{-19})/2.$ es dominio de ideales principales y que no existe norma euclidiana en $\mathbb{Z}[\theta]$.
Recordamos que un dominio de integridad es un anillo conmutativo, unitario y sin divisores de cero. Un dominio euclidiano es un dominio de integridad que admite el algoritmo de la división con resto.