Elementos primos e irreducibles

RESUMEN. Definimos los conceptos de elemento primo e irreducible en un dominio de integridad y estudiamos algunos de sus propiedades.

1. Definición. Sea $A$ un dominio de integridad y $a\in A.$ Se dice que $a$ es primo si
   (i) $a\ne 0$.
   (ii) $a$ no es unidad.
   (iii) $a\mid bc$ con $b,c\in A\Rightarrow a\mid b \vee a\mid c.$
2. Definición. Sea $A$ un dominio de integridad y $a\in A.$ Se dice que $a$ es irreducible si
   (i) $a\ne 0$.
   (ii) $a$ no es unidad.
   (iii) $a=bc$ con $b,c\in A\Rightarrow a\text{ es unidad o } b \text{ es unidad}.$
3. Teorema. Sea $A$ un dominio de integridad y $a\in A.$ Entonces, $$a\text{ es primo}\Rightarrow a \text{ es irreducible.}$$ Demostración. Sea $a=bc.$ Como $a$ es primo se verifica $a\mid b$ o $a\mid c.$ Supongamos sin pérdida de generalidad que $a\mid b.$ Entonces, $b=ad$ con $d\in A$ con lo cual, $a=bc=adc\Rightarrow a(1-dc)=0.$ Al ser $a\ne 0$ y $A$ dominio de integridad, $dc=1$ luego $c$ es unidad.
4. Teorema. Sea $A$ un dominio de factorización única y $a\in A.$ Entonces, $$a\text{ es primo}\Leftrightarrow a\text{ es irreducible.}$$ Demostración.
   $\Rightarrow )$ Se demostró en el teorema anterior.
   $\Leftarrow )$ Sea $a$ irreducible y $a\mid bc.$ Tenemos que demostrar que $a\mid b$ o $a\mid c.$ Si $b=0$, entonces $b=a\cdot 0$ por tanto $a\mid b.$ Si $b$ es unidad, como $a\mid bc$, existe $d\in A$ tal que $bc=ad$, luego $c=(b^{-1}d)a$ y por tanto $a\mid c.$ Podemos pues suponer que $b,c$ son no nulos y no son unidades.
   Como $a\mid bc$ existe $d\in A$ tal que $bc=ad.$ Supongamos que $d$ no es unidad. Al ser $A$ un dominio de factorización única, tenemos las descomposiciones $$b=b_1\cdot\ldots\cdot b_m,\quad c=c_1\cdot\ldots\cdot c_n,\quad d=d_1\cdot\ldots\cdot d_p,$$ con los $b_i,c_j,d_k$ irreducibles. Entonces, $$b_1\cdot\ldots\cdot b_m\cdot c_1\cdot\ldots\cdot c_n=a\cdot d_1\cdot\ldots\cdot d_p.$$ La unicidad de la descomposición en los dominios de factorización única implica que o bien $a$ está asociado a algún $b_i$ o a algún $c_j.$ En el primer caso $a\mid b$ y en el segundo, $a\mid c.$ Si $d$ es una unidad, el argumento es similar.
5. Ejemplo. Sea $A = \mathbb Q + x\:\mathbb R[x]$, es decir el dominio de integridad de los polinomios reales con constante racional. El polinomio $p(x)=x$ es claramente irreducible pero no es primo. En efecto, $x\mid (\sqrt 2 x)^2$ y $x\nmid \sqrt 2 x,$ pues $\sqrt 2\not\in \Bbb Q.$