Transcribo las excelentes reflexiones de Don Sixto Rios en su libro Métodos Estadísticos.
Toda la Matemática no es otra cosa que el estudio de modelos: Mecánica del punto material. Mecánica del sólido rígido, Geometría de la recta, etc.
Un modelo matemático es una representación abstracta simplificada de un cierto tipo de fenómenos reales. Ciertas operaciones, que traducen situaciones reales, se definen entre los elementos del modelo. Se parte de una idea (por ejemplo, recta=hilo tirante) y se introduce el concepto inspirado en dicha idea, por algunas de sus propiedades, prescindiendo después del punto de partida intuitivo.
La constucción axiomática de una rama de la Matemática se caracteriza por los hechos siguientes:
a) No se dan definiciones directas, sino que se introducen los elementos fundamentales, mediante algunos enunciados (axiomas) que contienen algunas propiedades de dichos elementos en forma de relaciones, que definen los que se llama una estructura.
b) El conjunto de propiedades (teoremas) que se deducen mediante razonamientos lógicos de los axiomas, constituye la Ciencia Matemática a la que nos referimos.
Los axiomas deben ser compatibles (no contradictorios), es decir debe ser no vacío el conjunto de entes que definen. Otra condición interesante, aunque no esencial, es que sean independientes, de manera que ningún axioma o parte de él debe ser consecuencia lógico de los otros.
Un teorema deducido correctamente de los axiomas es cierto en el sentido matemático, es decir, en cuanto expresa una propiedad de los entes abstractos definidos por los axiomas, pero no demuestra nada respecto de los objetos sensibles que han sido el punto de partida intuitivo para construir dichos entes abstractas. Así, cuando decimos que un teorema de Geometría euclídea afirma que dos águlos conjugados entre paralelas son suplementarios, esta propiedad es cierta para unos entes abstractos que hemos llamado ángulos conjugados, pero de aquí no se deduce que la suma de los ángulos conjugados dibujados sobre un papel sea 180º, lo cual es un hecho experimental, pero no una verdad matemática.
Para la aplicación a la práctica de la teoría construida, hay un segundo proceso de desconceptualización, que consiste en traducir los resultados logrados a la realidad concreta de partida en forma aproximada.
En que manera se adapta un modelo a la realidad es una cuestión de caracter intuitivo y para la que no se pueden dar reglas. Es más fácil decir cuando un modelo no se adapta bien a la realidad, que dar una norma rígida para aceptarlo.
$$\begin{matrix}\boxed{\text{Realidad}}&\rightarrow\; (\text{Conceptualización})\rightarrow & \boxed{\text{Axiomática}}\\{}&{}&{\downarrow}\\\uparrow&&{(\text{Desarrollo matemático})}\\
&&\downarrow\\
\boxed{\text{Aplicaciones}}&\leftarrow(\text{Desconceptualización})\leftarrow &
\boxed{\text{Teoría matemática}}\end{matrix}$$
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