$\sigma-$álgebras y conjuntos de Borel

Publicada el marzo 11, 2021 por Fernando Revilla

RESUMEN. Definimos los conceptos de $\sigma-$álgebra, conjunto de Borel y estudiamos algunas de sus propiedades.

  1. Definición. Sea $E$ un conjunto y $\mathcal{M}$ una colección de subconjuntos de $E.$ Decimos que $\mathcal{M}$ es una $\sigma-$álgebra (sigma álgebra) en $E$ si se verifica:
    1) $E\in\mathcal{M}.$
    2) Si $A\in \mathcal{M},$ entonces $A^c\in \mathcal{M}$.
    3) Si $A_1,A_2,\ldots$ pertenecen a $\mathcal{M}$ entonces $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{M}.$
    Al par $(E,\mathcal{M})$ se le llama espacio medible y a los elementos de $\mathcal{M}$ eventos o conjuntos medibles.
  2. Ejemplo. Es inmediato verificar que para todo conjunto $E$ las siguientes colecciones de subconjuntos de $E$ son $\sigma-$álgebras en $E$.
    (1) $\mathcal{M}_1=\mathcal{P}(E)$ (partes de $E$).
    (2) $\mathcal{M}_2=\{\emptyset,E\}.$
    (3) $\mathcal{M}_3=\{\emptyset,A,A^c,E\}$ con $A\subset E.$
  3. Ejemplo. Si $E$ es un conjunto, entonces la colección de subconjuntos de $E,$ $$\mathcal{M}=\{A\subset E: A\text{ es contable o }A^c\text{ es contable} \}$$ es una $\sigma-$álgebra en $E.$
    En efecto, recordemos un conjunto se dice numerable si tiene el cardinal de los naturales y se dice que es contable si es finito o numerable. Tenemos que $E^c=\emptyset$ y $\emptyset$ es finito, por tanto $E\in\mathcal{M}.$ Por otra parte,$$A\in \mathcal{M}\Rightarrow A\text{ es contable o }A^c\text{ es contable}$$ $$ \Rightarrow A^c\text{ es contable o }A\text{ es contable}$$ $$\Rightarrow A^c\text{ es contable o }(A^c)^c\text{ es contable}\Rightarrow A^c\in \mathcal{M}.$$ Sea ahora una colección $A_1,A_2,\ldots $ de elementos de $\mathcal{M}$ y llamemos $A=\bigcup_{n=1}^\infty A_n.$ Si $A$ es contable, $A\in\mathcal{M}.$ Si $A$ no es contable, tenemos que demostrar que $A^c$ es contable. Al ser $A$ no contable, existe un $m$ tal que $A_m$ no es contable pues en caso contrario, $A$ sería contable. Como $A_m\in\mathcal{M}$, $A_m^c$ es contable. Dado que $$A^c=\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)^c=\bigcap_{n=1}^\infty A_n^c\subset A_m^c$$ y $A_m^c$ es contable, $A^c$ es contable.
  4. Teorema. (Propiedades que se deducen de los axiomas de $\sigma-$álgebra).
    Sea $(E,\mathcal{M})$ un espacio medible. Entonces,
    $(a)$ $\emptyset\in\mathcal{M}.$
    $(b)$ Si $A_1,A_2,\ldots, A_n$ son elementos de $\mathcal{M}$, entonces $A_1\cup A_2\cup \ldots \cup A_n\in \mathcal{M}.$
    $(c)$ $\mathcal{M}$ es cerrada respecto de uniones e intersecciones contables.
    $(d)$ Si $A$ y $B$ son elementos de $\mathcal{M}$, entonces $A – B\in\mathcal{M}.$
    Demostración.
    $(a)$ Como $E\in\mathcal{M}$, $\emptyset=E^c\in\mathcal{M}.$
    $(b)$ Tomando $A_{n+1}=A_{n+2}=\ldots=\emptyset$, queda $A_1\cup A_2\cup \ldots \cup A_n=\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{M}.$
    $(c)$ Está ya demostrado para uniones. Basta aplicar ahora las leyes de Morgan para las intersecciones.
    $(d)$ Tenemos $A- B=A\cap B^c\in\mathcal{M}.$
  5. Teorema. (Intersección de $\sigma-$álgebras).
    Sea $\{\mathcal{M}_i:i\in I\}$ una familia de $\sigma-$álgebras en un conjunto $E.$ Entonces, $\mathcal{M}=\bigcap_{i\in I}\mathcal{M}_i$ es una $\sigma-$álgebra en $E.$
    Demostración. Al ser $\mathcal{M}_i$ una $\sigma-$álgebra para todo $i\in I$, se verifica $E\in\mathcal{M}_i $ para todo $i\in I$ por tanto $E\in \mathcal{M}.$ Si $A\in \mathcal{M}$ entonces $A\in \mathcal{M}_i$ para todo $i\in I$ y al ser cada $\mathcal{M}_i$ una $\sigma-$álgebra, $A^c\in \mathcal{M}_i$ para cada $i\in I$, luego $A^c\in \mathcal{M}.$ Si $A_1,A_2,\ldots$ son elementos de $\mathcal{M},$ entonces los elementos $A_1,A_2,\ldots$ pertenecen a $\mathcal{M}_i$ para todo $i\in I$ y al ser cada $\mathcal{M}_i$ una $\sigma-$álgebra se verifica $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \mathcal{M}_i$ para todo $i\in I$ con lo cual $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in \mathcal{M}.$
  6. Ejemplo. No es cierto en general que la unión de $\sigma-$álgebras en $E$ es $\sigma-$álgebra en $E.$ Elijamos por ejemplo
    $$E= \{a,b,c\},\quad \mathcal{M}_1 = \{ \{a\}, \{b,c\}, \emptyset, E\},\quad \mathcal{M}_2 = \{ \{b\}, \{a,c\}, \emptyset, E\}.$$Es inmediato comprobar que $\mathcal{M}_1$ y $\mathcal{M}_2$ son $\sigma-$álgebras en $E$ y que $\mathcal{M}_1\cup\mathcal{M}_2$ no lo es.
  7. Definición. Sea $E$ un conjunto y $\mathcal{F}$ una colección de subconjuntos de $E.$ Definimos la $\sigma-$álgebra en $E:$ $$\sigma (\mathcal{F})=\bigcap_{\mathcal{M}\supset \mathcal{F}}\mathcal{M}\text{ con }\mathcal{M}\;\sigma-\text{álgebra en }E.$$ Es decir, $\sigma (\mathcal{F})$ es la intersección de todas las $\sigma-$álgebras en $E$ que contienen a $\mathcal{F}.$ Claramente es la menor de entre todas las $\sigma-$álgebras en $E$ que contienen a $\mathcal{F}$. A $\sigma (\mathcal{F})$ se la llama $\sigma-$álgebra generada por $\mathcal{F}$.
  8. Definición. Sea $(X,T)$ un espacio topológico. A los elementos de la $\sigma-$álgebra $\sigma (T)$ se les llama conjuntos de Borel asociados a la topología $T.$
  9. De los axiomas de topología y de las propiedades de las $\sigma-$álgebras se concluye el siguiente corolario.
    Corolario.
    $(1)$ Los conjuntos abiertos son conjuntos de Borel.
    $(2)$ Los conjuntos cerrados son conjuntos de Borel.
    $(3)$ Las uniones numerables de conjuntos cerrados son conjuntos de Borel (se les llama conjuntos $F_{\sigma}).$
    $(4)$ Las intersecciones numerables de conjuntos abiertos son conjuntos de Borel (se les llama conjuntos $G_{\delta}).$
  10. Ejemplo. En la $\sigma-$álgebra $\sigma(T_u)$ en donde $T_u$ es la topología usual de $\mathbb{R},$ el intervalo semiabierto $(a,b]$ es un conjunto de Borel (en particular un $G_{\delta}$). En efecto, veamos que $$(a,b]=\bigcap_{n=1}^\infty \left(a,b+\frac{1}{n}\right).$$ Si $x\in (a,b]$ entonces $x > a$ y $x\le b$ lo cual implica que $x > a$ y $x < b+(1/n),$ es decir $x\in \left (a,b+(1/n)\right)$ para todo $n,$ luego $x\in \bigcap_{n=1}^\infty \left(a,b+(1/n)\right).$ Reciprocamente, si $x\in\bigcap_{n=1}^\infty \left(a,b+(1/n)\right)$ entonces $x > a$ y $x < b+(1/n)$ para todo $n$. Esto implica que $x\le b$ pues si fuera $x > b$ entonces $n < 1/(x-b)$ para todo $n$ lo cual es absurdo. Es decir, $x\in (a,b].$
    De la misma manera se demuestra que $[a,b)=\bigcap_{n=1}^\infty \left(a-(1/n),b\right),$ es decir $[a,b)$ es un conjunto de Borel.
  11. Definición. Todo subconjunto numerable $A$ de $\mathbb{R}$ es un $F_{\sigma}.$ En efecto, $A=\{a_1,a_2,\ldots\}=\bigcup_{n=1}^\infty \{a_n\}$ y los $\{a_n\}$ son conjuntos cerrados. En particular $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ son conjuntos $F_{\sigma}.$
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