Concepto de variable aleatoria

Publicada el marzo 16, 2021 por Fernando Revilla

RESUMEN. Definimos el concepto de variable aleatoria y proporcionamos una caracterización.

  1. Notaciones. Recordemos que si $E$ es un conjunto y $\mathcal{F}$ una colección de subconjuntos de $E,$ a la menor $\sigma-$álgebra en $E$ que contiene a $\mathcal{F}$ la designamos por $\sigma (\mathcal{F}).$ Por otra parte, si $\mathcal{T}$ es una topología en $E,$ a los elementos de $\sigma (\mathcal{T})$ los llamamos conjuntos de Borel asociados a la topología $\mathcal{T}.$
    En el caso de ser $\mathcal{T}_u$ la topología usual de $\mathbb{R}$ designamos a $\sigma (\mathcal{T}_u)$ por $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ($\sigma-$álgebra de los conjuntos de Borel en $\mathbb{R}$).
  2. Definición. Sea $(E,\mathcal{M},p)$ un espacio probabilístico y $\xi:E\to \mathbb{R}$ una aplicación. Decimos que $\xi$ es una variable aleatoria asociada al espacio probabilístico dado, si $$\forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})\text{ se verifica }\xi^{-1}(B)\in \mathcal{M}.$$ Es decir, si la imagen inversa de todo conjunto de Borel es un suceso del espacio probabilístico.
  3. Teorema. (Probabilidad inducida por una variable aleatoria). Sea $\xi$ una variable aleatoria asociada al espacio probabilístico $(E,\mathcal{M},p).$ Entonces, $(E,\mathcal{B}(\mathbb{R}),p_{\xi})$ es un espacio probabilístico en donde $$p_{\xi}(B)=p[\xi^{-1}(B)]\text{ para todo }B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}).$$ Demostración.
    $1)$ Para todo $B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ tenemos $P_{\xi}(B)=P[\xi^{-1}(B)]\in [0,1].$
    $2)$ Sean $B_1,B_2,\ldots\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ con $B_i\cap B_j=\emptyset$ si $i\ne j.$ Entonces, $\emptyset=\xi^{-1}(B_i\cap B_j)$ $=\xi^{-1}(B_i)\cap\xi^{-1}(B_j)$, con lo cual $$p_{\xi}\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)=p\left[\xi^{-1}\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)\right]$$ $$=p\left[\bigcup_{n=1}^\infty\xi^{-1}(B_n)\right]=\sum_{n=1}^\infty p[\xi^{-1}(B_n)]=\sum_{n=1}^\infty p_{\xi}(B_n). $$ $3)$ $p_{\xi}(\mathbb{R})=p[\xi^{-1}(\mathbb{R})]=p(E)=1.$
  4. Lema. Si $\mathcal{F}=\{(-\infty,x]:x\in\mathbb{R}\}$, entonces $\sigma (\mathcal{F})=\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Es decir, los intervalos de la forma $(-\infty,x]$ generan todos los conjuntos de Borel de $\mathbb{R}.$
    Demostración. Todo elemento de $\mathcal{F}$ es un conjunto cerrado y por tanto, $\mathcal{F}\subset \mathcal{B}(\mathbb{R})$ con lo cual, $\sigma (\mathcal{F})\subset \sigma(\mathcal{B}\left(\mathbb{R})\right)=\mathcal{B}(\mathbb{R}).$ Veamos ahora que $\mathcal{B}(\mathbb{R})\subset \sigma (\mathcal{F}).$ En efecto, para todo $b\in\mathbb{R}:$ $$(-\infty,b)=\bigcup_{n=1}^\infty \left(-\infty,b-\frac{1}{n}\right]\in \sigma (\mathcal{F}).$$ Por otra parte, para todo intervalo $(a,b)$ de la recta real, $(a,b)=(-\infty,b)\setminus (-\infty,a]$ $\in \sigma (\mathcal{F}).$ Como todo conjunto abierto $G$ de la recta real es unión contable de intervalos abiertos, la topología usual $T_u$ de la recta real está contenida en $\sigma (\mathcal{F})$ y por tanto $\mathcal{B}(\mathbb{R})=\sigma (T_u)\subset \sigma (\mathcal{F}),$ lo cual completa la demostración.
  5. Teorema. (Caracterización de las variables aleatorias). Sea $(E,\mathcal{M},p)$ un espacio probabilístico y $\xi:E\to \mathbb{R}$ una aplicación. Entonces, $$\xi\text{ es variable aleatoria}\Leftrightarrow \xi^{-1}((-\infty,x])\in\mathcal{M}\text{ para todo }x\in\mathbb{R}.$$Demostración.
    $\Rightarrow)$ Como $(-\infty,x]$ es cerrado, $(-\infty,x]\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ y por hipótesis $\xi$ es variable aleatoria, por tanto $\xi^{-1}((-\infty,x])\in\mathcal{M}$ para todo $x\in\mathbb{R}.$
    $\Leftarrow)$ Supongamos que $\xi^{-1}((-\infty,x])\in\mathcal{M}$ para todo $x\in\mathbb{R}$ y consideremos las colecciones de conjuntos $$\mathcal{F}_1=\{B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}):\xi^{-1}(B)\in\mathcal{M}\},\quad \mathcal{F}_2=\{(-\infty,x]:x\in\mathbb{R}\}.$$ Se verifica $\mathcal{F}_2\subset \mathcal{F}_1\subset \mathcal{B}(\mathbb{R})$, el primer contenido por hipótesis y el segundo por la definición de $\mathcal{F}_1.$ Supongamos que $\mathcal{F}_1$ fuera $\sigma-$álgebra. Entonces, $$\sigma (\mathcal{F}_2)\subset\underbrace{\sigma (\mathcal{F}_1)}_{=\mathcal{F}_1}\subset \sigma \left(\mathcal{B}(\mathbb{R})\right)=\mathcal{B}(\mathbb{R}).$$ Pero por el lema anterior, $\sigma (\mathcal{F}_2)=\mathcal{B}(\mathbb{R})$, con lo cual $\mathcal{F}_1=\mathcal{B}(\mathbb{R})$ y el teorema ya estaría demostrado. Queda pues demostrar que efectivamente $\mathcal{F}_1$ es $\sigma-$álgebra.
    $(1)$ $\mathbb{R}\in \mathcal{F}_1$ pues $\xi^{-1}(\mathbb{R})=E\in\mathcal{M}.$
    $(2)$ $B\in\mathcal{F}_1\Rightarrow\xi^{-1}(B)\in\mathcal{M}\Rightarrow \xi^{-1}(B^c)=(\xi^{-1}(B))^c\in \mathcal{M}\Rightarrow B^c\in \mathcal{F}_1.$
    $(3)$ Sean $B_1,B_2,\ldots \in \mathcal{F}_1.$ Entonces, $\xi^{-1}(B_1),\xi^{-1}(B_2),\ldots \in \mathcal{M},$ con lo cual $$\xi^{-1}\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)=\bigcup_{n=1}^\infty\xi^{-1}(B_n)\in\mathcal{M}\Rightarrow \bigcup_{n=1}^\infty B_n\in\mathcal{F}_1.$$
  6. Nota. Se puede demostrar que además de la anterior caracterización de las variables aleatorias, existen otras: $$\xi \text{ es variable aleatoria}\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}(-\infty, x)\in\mathcal{M} $$ $$\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}(x,+\infty)\in\mathcal{M}$$ $$\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}[x,+\infty)\in\mathcal{M}$$ $$\Leftrightarrow \xi^{-1}(a,b)\in\mathcal{M}\text{ para todo intervalo }(a,b)\text{ de }\mathbb{R}.$$
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