Operaciones con variables aleatorias

RESUMEN. Demostramos que varias operaciones con variables aleatorias dan lugar a variables aleatorias.

Recordamos que existen varias caracterizaciones del concepto de variable aleatoria asociada a un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{M},p):$ $$ \xi \text{ es variable aleatoria}\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}(-\infty, x]\in\mathcal{M}$$ $$\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}(-\infty, x)\in\mathcal{M} $$ $$\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}(x,+\infty)\in\mathcal{M}$$ $$\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}, \;\xi^{-1}[x,+\infty)\in\mathcal{M}$$ $$\Leftrightarrow \xi^{-1}(a,b)\in\mathcal{M}\text{ para todo intervalo }(a,b)\text{ de }\mathbb{R}.$$

    Teorema. Sea $(\Omega,\mathcal{M},p)$ un espacio de probabilidad. Todas las variables aleatorias que se usen supondremos que están definidas en $\Omega .$
  1. La función constante $X=c$ es una variable aleatoria.
  2. Si $X$ es una variable aleatoria y $c$ es una constante, entonces $cX$ es una variable aleatoria.
  3. Si $X$ e $Y$ son variables aleatorias, $X+Y$ es variable aleatoria.
  4. Si $X$ e $Y$ son variables aleatorias, $XY$ es variable aleatoria.
  5. Si $X$ es variable aleatoria y $p$ es un polinomio real, entonces $p(X)$ es variable aleatoria.
  6. Si $X$ e $Y$ son variables aleatorias con $Y(\omega)\ne 0$ para todo $\omega\in \Omega$, entonces $X/Y$ es variable aleatoria.
  7. Si $X$ e $Y$ son variables aleatorias entonces $\max\{X,Y\}$ y $\min\{X,Y\}$ también lo son. Como casos particulares lo son $X^+=\max\{0,X\}$ y $X^-=-\min\{0,X\}.$
  8. Si $X$ es variable aleatoria, $|X|$ también lo es. El recíproco no es cierto.
  9. Si $X_n$ es una sucesión de variables aleatorias, entonces $\sup X_n$ e $\inf X_n$ (cuando existan) son variables aleatorias.
  10. Si $X_n$ es una sucesión de variables aleatorias, son variables aleatorias cuando existan $\limsup _{n\to \infty}X_n$ y $\liminf _{n\to \infty}X_n.$
  11. Si $X_n$ es una sucesión de variables aleatorias es variable aleatoria, cuando exista, $\lim_{n\to \infty}X_n.$
Demostración.
  1. Si $c\le x$ entonces, $X^{-1}(-\infty,x]=\Omega\in\mathcal{M}$ y si $c > x$ entonces, $X^{-1}(-\infty,x]=$ $\emptyset\in\mathcal{M}$ por tanto $X=c$ es una variable aleatoria.
  2. Si $c > 0$, $$(cX)^{-1}(-\infty,x]=\{\omega\in \Omega:(cX)(\omega)\le x\}$$ $$=\{\omega\in \Omega: X(\omega)\le x/c\}=X^{-1}(-\infty,x/c]$$ y $X^{-1}(-\infty,x/c]\in\mathcal{M}$ por ser $X$ variable aleatoria. Si $c < 0$, $$(cX)^{-1}(-\infty,x]=\{\omega\in \Omega:(cX)(\omega)\le x\}$$ $$=\{\omega\in \Omega: X(\omega)\ge x/c\}=X^{-1}[x/c,+\infty)$$ y $X^{-1}[x/c,+\infty)\in\mathcal{M}$ por ser $X$ variable aleatoria y $[x/c,+\infty)$ cerrado.
    Si $c=0$, entonces $cX=0$ es variable aleatoria por el apartado anterior.
  3. Demostremos previamente que $$(X+Y)^{-1}(x,+\infty)=\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}\{\omega\in\Omega:X(\omega) > r\}\cap\{\omega\in\Omega:Y(\omega) > x-r\}.$$ En efecto, si $\omega \in (X+Y)^{-1}(x,+\infty)$ entonces $X(\omega)+Y(\omega) > x$ y por tanto $X(\omega) > x- Y(\omega).$ Al ser $\mathbb{Q}$ denso en $\mathbb{R},$ existe un racional $r$ tal que $X(\omega) > r$ $> x- Y(\omega),$ luego $X(\omega) > r$ e $Y(\omega) > x-r$ y por tanto $\omega$ pertenece al lado derecho de la igualdad. Sea ahora $\omega$ un elemento del lado derecho de la igualdad. Entonces, existe un racional $r_0$ tal que $X(\omega) > r_0$ e $Y(\omega) > x-r_0$. Sumando obtenemos $X(\omega)+Y(\omega) > x$, con lo cual $\omega\in (X+Y)^{-1}(x,+\infty).$
    Al ser $X,Y$ variables aleatorias, los dos conjuntos de la intersección que aparecen en la igualdad pertenecen a $\mathcal{M}$ y por tanto su propia intersección. Por ser $(X+Y)^{-1}(x,+\infty)$ unión contable de elementos de $\mathcal{M}$, pertenece a $\mathcal{M}$ lo cual completa la demostración.
  4. Primero consideramos el caso $X=Y.$ Tenemos $$(X^2)^{-1}(-\infty,x]=\{\omega\in \Omega: X^2(\omega)\le x\}.$$ Si $x < 0,$ $(X^2)^{-1}(-\infty,x]=\emptyset \in\mathcal{M}.$ Si $x\ge 0$, $$(X^2)^{-1}(-\infty,x]=\{\omega\in \Omega: -\sqrt{x}\le X(\omega)\le \sqrt{x}\}=X^{-1}[-\sqrt{x},\sqrt{x}]\in\mathcal{M}.$$ Es decir, $X^2$ es variable aleatoria. Para el caso $X\ne Y$ podemos escribir $$XY=\frac{1}{4}\left[(X+Y)^2-(X-Y)^2\right],$$ y por los apartados anteriores, $XY$ es variable aleatoria.
  5. Del apartado anterior deducimos que $X,X^2,X^3,X^3,\ldots$ son variables aleatorias y aplicando el resto de los apartados deducimos inmediatamente que $p(X)$ es variable aleatoria.
  6. Demostremos primeramente que $1/Y$ es variable aleatoria. Para $y>0:$ $$\left(\frac{1}{Y}\right)^{-1}(-\infty,y]=\{\omega\in \Omega:\frac{1}{Y(\omega)}\le y\}$$ $$=\{\omega\in \Omega:\frac{1}{Y(\omega)}\le y,Y(\omega) > 0\}\cup \{\omega\in \Omega:\frac{1}{Y(\omega)}\le y,Y(\omega) < 0\}$$ $$=\{\omega\in \Omega: Y(\omega)\ge \frac{1}{y},Y(\omega) > 0\}\cup \{\omega\in \Omega: Y(\omega)\le \frac{1}{y},Y(\omega) < 0\}$$ $$=Y^{-1}[1/y,+\infty)\cup Y^{-1}(-\infty,0)$$ que es un elemento de $\mathcal{M}$ por ser $Y$ variable aleatoria. Para $y < 0:$ $$\left(\frac{1}{Y}\right)^{-1}(-\infty,y]=\{\omega\in \Omega:\frac{1}{Y(\omega)}\le y\}$$ $$=\{\omega\in \Omega:\frac{1}{Y(\omega)}\le y,Y(\omega) > 0\}\cup \{\omega\in \Omega:\frac{1}{Y(\omega)}\le y,Y(\omega) < 0\}$$ $$=\{\omega\in \Omega: Y(\omega)\le \frac{1}{y},Y(\omega) > 0\}\cup \{\omega\in \Omega: Y(\omega)\ge \frac{1}{y},Y(\omega) < 0\}$$ $$=\emptyset \cup Y^{-1}[1/y,0)=Y^{-1}[1/y,0)$$ y este conjunto pertenece a $\mathcal{M}$ por ser $Y$ variable aleatoria. Para $y=0:$ $$\left(\frac{1}{Y}\right)^{-1}(-\infty,0]=\{\omega\in \Omega:\frac{1}{Y(\omega)}\le 0\}$$ $$=\{\omega\in \Omega:\frac{1}{Y(\omega)}\le 0,Y(\omega) > 0\}\cup \{\omega\in \Omega:\frac{1}{Y(\omega)}\le 0,Y(\omega) < 0\}$$ $$=\emptyset \cup Y^{-1}(-\infty,0)=Y^{-1}(-\infty,0)$$ que de nuevo es un conjunto que pertenece a $\mathcal{M}$. Por tanto $1/Y$ es variable aleatoria y también $X/Y$, al ser producto de variables aleatorias
  7. Tenemos $$\left(\max \{X,Y\}\right)^{-1}(-\infty,x]=\{\omega\in\Omega:(\max \{X,Y\})(\omega)\le x\}$$ $$=\{\omega\in\Omega: X(\omega)\le x, Y(\omega)\le x\}$$ $$=X^{-1}(-\infty,x]\cap Y^{-1}(-\infty,x]\in\mathcal{M}.$$ Análogamente, $$\left(\min \{X,Y\}\right)^{-1}(x,+\infty]=\{\omega\in\Omega:(\min \{X,Y\})(\omega)\ge x\}$$ $$=\{\omega\in\Omega: X(\omega)\ge x, Y(\omega)\ge x\}=X^{-1}[x,+\infty)\cap Y^{-1}[x,+\infty).$$ En ambos casos, el lado derecho pertence a $\mathcal{M}.$
  8. Tenemos $|X|=X^++X^-$ y del apartado anterior, se deduce que $|X|$ es variable aleatoria. Veamos un contraejemplo de que el recíproco no es cierto. Condideremos $\Omega=\{-1,0,1\}$ y el $\sigma-$álgebra $\mathcal{M}=\{\emptyset,\{0\},\{-1,1\},\Omega\}.$ Sea $X:\Omega \to\mathbb{R}$ la función identidad $X(\omega)=\omega.$ Entonces, para todo conjunto de Borel $B$ de $\mathbb{R}:$ $$|X|^{-1}(B)=\left \{ \begin{matrix}\Omega&\text{si }& 0\in B, 1\in B\\
    \{-1,1\}&\text{si }& 0\notin B, 1\in B\\
    \{0\}&\text{si }& 0\in B, 1\notin B\\
    \emptyset&\text{si }& 0\notin B, 1\notin B\end{matrix}\right.$$ Por tanto $|X|^{-1}(B)\in\mathcal{M}$ con lo cual $|X|$ es variable aleatoria. Pero $X^{-1}(\{-1\})=$ $\{-1\}\notin \mathcal{M}$ y por tanto $X$ no es variable aleatoria.
  9. Si existen $\sup X_n$ e $\inf X_n$, para todo $x$ real se verifica: $$(\sup X_n)^{-1}(-\infty,x]=\{\omega\in\Omega:(\sup X_n)(\omega)\le x\}$$ $$=\bigcap_{n=1}^\infty \{\omega\in\Omega: X_n(\omega)\le x\}=\bigcap_{n=1}^\infty (X_n)^{-1}(-\infty,x]\in\mathcal{M},$$ $$(\inf X_n)^{-1}[x,+\infty)=\{\omega\in\Omega:(\inf X_n)(\omega)\ge x\}$$ $$=\bigcap_{n=1}^\infty \{\omega\in\Omega: X_n(\omega)\ge x\}=\bigcap_{n=1}^\infty (X_n)^{-1}[x,+\infty)\in\mathcal{M}.$$ En consecuencia, caso de existir, $\sup X_n$ e $\inf X_n$ son variables aleatorias.
  10. Es consecuencia del apartado anterior y de las igualdades: $$\limsup _{n\to \infty}X_n=\inf_{k}\{\sup_{n\ge k}X_n\},\quad \liminf _{n\to \infty}X_n=\sup_{k}\{\inf_{n\ge k}X_n\}.$$
  11. Es consecuencia del apartado anterior y de que si existe $\lim_{n\to \infty}X_n$ entonces $$\limsup _{n\to \infty}X_n=\liminf _{n\to \infty}X_n=\lim_{n\to \infty}X_n.$$
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