Función de distribución de una variable aleatoria

RESUMEN. Definmos el concepto de función de distribución de una variable aleatoria y demostramos sus propiedades.

  1. Lema. Sea $(\Omega,\mathcal{M},p)$ un espacio probabilístico y $A_n$ una sucesión de elementos de $\mathcal{M}$.
    $(a)$ Si $A_n$ es creciente, es decir $A_1\subset A_2\subset A_3\subset \ldots$, entonces: $$ \lim_{n\to \infty}p(A_n)=p\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right).$$ $(b)$ Si $A_n$ es decreciente, es decir $A_1\supset A_2\supset A_3\supset \ldots$, entonces: $$ \lim_{n\to \infty}p(A_n)=p\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right).$$ Demostración.
    $(a)$ Como la sucesión $A_n$ es creciente, también es creciente la sucesión de números reales $p(A_n)$ y està acotada superiormente por $1$ luego existe $\lim_{n\to \infty}p(A_n).$ Llamemos $$B_1=A_1,\quad B_n=A_n-A_{n-1}\text{ si }n\ge 2.$$ Entonces, $\bigcup_{n=1}^\infty A_n=\bigcup_{n=1}^\infty B_n$ y los $B_n$ son disjuntos dos a dos, por tanto, $$p\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=p\left(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\right)=\sum_{n=1}^\infty p(B_n)=p(A_1)+\sum_{n=2}^\infty\left( p(A_n)-p(A_{n-1})\right) $$
    $$=p(A_1)+\lim_{m\to\infty}\sum_{n=2}^m\left( p(A_n)-p(A_{n-1})\right)$$ $$=P(A_1)+\lim_{m\to\infty}p(A_m)-p(A_1)=\lim_{n\to\infty}p(A_n).$$ $(b)$ Como la sucesión $A_n$ es decreciente, también es decreciente la sucesión de úumeros reales $p(A_n)$ y está acotada por inferiormente por $0$ luego existe $\lim_{n\to \infty}p(A _n).$ Tenemos $$p\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\right)=p\left(\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)^c\right)=1-p\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right).$$ Por otra parte, $A_1^c\subset A_2^c\subset A_3^c\subset \ldots$, es decir $A_n^c$ es decreciente, y por el apartado $(a):$ $$p\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\right)=\lim_{n\to \infty}p\left(A_n^c\right)=\lim_{n\to \infty}\left(1-p\left(A_n\right)\right)=1-\lim_{n\to \infty}p\left(A_n\right),$$ de lo cual concluimos que $\lim_{n\to \infty}p\left(A_n\right)=p\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n^c\right).$
  2. Definición. Sea $(\Omega,\mathcal{M},p)$ un espacio probabilístico y $X$ una variable aleatoria asociada a dicho espacio. Dado que para todo $x\in\mathbb{R}$ se verifica $X^{-1}(-\infty,x]\in\mathcal{M}$, tiene sentido definir la función $$F:\mathbb{R}\to [0,1],\quad F(x)=p\left(X^{-1}(-\infty,x]\right)$$ o bien, abreviadamente
    $$F:\mathbb{R}\to [0,1],\quad F(x)=p(X\le x)$$ A $F$ se la llama función de distribución asociada a la variable aleatoria $X.$
  3. Teorema. (Propiedades de la función de distribución).
    Sea $F$ la función de distribución de una variable aleatoria $X.$ Entonces,
    $1.$ $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}F(x)=1.$
    $2.$ $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}F(x)=0.$
    $3.$ Si $x_1\le x_2$ entonces $F(x_1)\le F(x_2).$
    $4.$ $F$ es continua a la derecha, es decir $F(x+)=F(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}.$
    Demostración.
    $1.$ Sea $x_n$ cualquier sucesión creciente de números reales con límite $+\infty$ y llamemos $A_n=X^{-1}(-\infty,x_n].$ Entonces, $A_n$ es creciente y $\bigcup_{n=1}^\infty A_n=\Omega.$ Aplicando el apartado $(a)$ del lema anterior, $$\lim_{n\to \infty}F(x_n)=\lim_{n\to \infty}p(A_n)=p\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=p(\Omega)=1,$$ de lo cual se deduce que $\lim_{x\to +\infty}F(x)=1.$
    $2.$ Sea $x_n$ cualquier sucesión decreciente de números reales con lìmite $-\infty$ y llamemos $A_n=X^{-1}(-\infty,x_n].$ Entonces, $A_n$ es decreciente y $\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\emptyset.$ Aplicando el apartado $(b)$ del lema anterior, $$\lim_{n\to \infty}F(x_n)=\lim_{n\to \infty}p(A_n)=p\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right)=p(\emptyset)=0,$$ de lo cual se deduce que $\lim_{x\to -\infty}F(x)=0.$
    $3.$ Tenemos $$x_1\le x_2\Rightarrow X^{-1}(-\infty,x_1]\subset X^{-1}(-\infty,x_2]$$ $$\Rightarrow p\left(X^{-1}(-\infty,x_1]\right)\le p\left(X^{-1}(-\infty,x_2]\right)\Rightarrow F(x_1)\le F(x_2).$$ $4.$ Para toda sucesión $x_n$ de números reales no negativos, decreciente y con límite $0$, $$F(x+x_n)=F(x)+p(x < X \le x+ x_n).$$ La sucesión de conjuntos $A_n=\{\omega \in \Omega: x < X(\omega)\le x_n \}$ es decreciente y $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ $=\emptyset$, por tanto $$\lim_{n\to \infty}F(x+x_n)=F(x)+\lim_{n\to \infty}p(A_n)=F(x)+p(\emptyset)=F(x).$$ Es decir, $F(x+)=F(x).$
  4. Nota. Se demuestra que dada una función $F:\mathbb{R}\to [0,1]$ cumpliendo las cuatro propiedades del teorema anterior, existe un espacio de probabilidad y una variable aleatoria en él cuya función de distribución es $F.$
  5. Teorema. Sea $(\Omega,\mathcal{M},p)$ un espacio probabilístico, $X$ una variable aleatoria en tal espacio y $F: \mathbb{R} \to [0,1]$ la correspondiente función de distribución. Entonces:
    $1.$ $p(X < x)=F(x-).$
    $2.$ $p(X=x)=F(x)-F(x-).$
    $3.$ $p(X\in (a,b])=F(b)-F(a).$
    $4.$ $p(X\in [a,b])=F(b)-F(a-).$
    $5.$ $p(X\in (a,b))=F(b-)-F(a).$
    $6.$ $p(X\in [a,b))=F(b-)-F(a-).$
    Demostración.
    $1.$ Sea $x_n$ una sucesión decreciente de números reales positivos con lìmite $0.$ Consideremos los elementos de $\mathcal{M}$ dados por $A_n=\{\omega\in \Omega:X(\omega)\le x-x_n\}.$ Se verifica $A_1\subset A_2\subset \ldots$ y $\bigcup_{n=1}^\infty A_n=$ $\{\omega\in \Omega:X(\omega)< x\}.$ Entonces, $$p(X < x)=p\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=\lim_{n\to \infty}p(A_n)=\lim_{n\to \infty}p(X\le x-x_n)=F(x-).$$ $2.$ $p(X=x)=P(X\le x)-p(X < x)=F(x)-F(x-).$
    $3.$ $p\left((X\in (a,b]\right)=P(X\le b)-p(X \le a)=F(b)-F(a).$
    $4.$ $p\left((X\in [a,b]\right)=P(X \le b)-p(X < a)=F(b)-F(a-).$
    $5.$ $p\left((X\in (a,b)\right)=P(X < b)-p(X \le a)=F(b-)-F(a).$
    $6.$ $p\left((X\in [a,b)\right)=P(X < b)-p(X < a)=F(b-)-F(a-).$
  6. Corolario. Si $F$ es continua y para $a < b$ se verifica $$p(X\in (a,b])=p(X\in [a,b])=p(X\in (a,b))=p(X\in [a,b))=F(b)-F(a),$$ y para cualquier $x$ real, $p(X=x)=0.$
  7. Teorema. Toda función de distribución $F$ tiene a lo sumo una cantidad numerable de discontinuidades.
    Demostración. Sea $D$ el conjunto de puntos de discontinuidad de $F$. Para cada $x \in D$ tenemos $F(x-) < F(x)$ y por tanto podemos elegir un racional $q_x$ tal que $F(x-) < q_x < F(x).$ Como $F$ es creciente, si $x \ne y$ entonces $q_x \ne q_y,$ es decir la aplicación $x \mapsto q_x$ de $D$ en $\mathbb{Q}$ es inyectiva y $\mathbb{Q}$ es numerable, lo cual implica que $D$ es a lo sumo numerable.
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