Homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad

RESUMEN. Demostramos que no todo homomorfismo de anillos conserva el elemento unidad

Enunciado.
Sea $\mathbb{Z}^3$ el anillo producto directo $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ con las operaciones usuales en $\mathbb{Z}.$ Demostrar que la aplicación $$f:\mathbb{Z}^3\to \mathbb{Z}^3,\quad f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,0)$$ es un homomorfismo de anillos que no conserva el elemento unidad.

Solución.
Para todo $(x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\in \mathbb{Z}^3,$ $$f[(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)]=f(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)$$ $$=(x_1+y_1,x_2+y_2,0)=(x_1,x_2,0)+(y_1,y_2,0)$$ $$=f(x_1,x_2,x_3)+f(y_1,y_2,y_3).$$ $$f[(x_1,x_2,x_3)(y_1,y_2,y_3)]=f(x_1y_1,x_2y_2,x_3y_3)$$ $$=(x_1y_1,x_2y_2,0)=(x_1,x_2,0)(y_1,y_2,0)$$ $$=f(x_1,x_2,x_3)f(y_1,y_2,y_3).$$ Por tanto, $f$ es homomorfismo. El elemento unidad en $\mathbb{Z}^3$ es $(1,1,1)$ y $f(1,1,1)=$ $(1,1,0)$, que no es el elemento unidad.

Esta entrada ha sido publicada en Álgebra y etiquetada como , , , . Guarda el enlace permanente.