Límite de la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}$

RESUMEN. Hallamos el límite de una suma finita por cálculo directo y por sumas de Riemann.

Enunciado.
$1)$ Calcular la suma finita $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}\;\; (b\in\mathbb{R})$.
$2)$ Calcular $L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}.$
$3)$ Calcular el límite anterior por sumas de Riemann.

Solución.
$1)$ Desarrollando y aplicando la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica $$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{bk}{n}}}{n}=\frac{b}{n}\sum_{k=1}^n e^{\frac{bk}{n}}=\frac{b}{n}\left[e^{\frac{b}{n}}+\left(e^{\frac{b}{n}}\right)^2+\left(e^{\frac{b}{n}}\right)^3+\ldots+\left(e^{\frac{b}{n}}\right)^n\right]$$ $$=\frac{be^{\frac{b}{n}}}{n}\left[1+\left(e^{\frac{b}{n}}\right)+\left(e^{\frac{b}{n}}\right)^2+\ldots+\left(e^{\frac{b}{n}}\right)^{n-1}\right]=\frac{be^{\frac{b}{n}}}{n}\frac{\left(e^{\frac{b}{n}}\right)^n-1}{e^{\frac{b}{n}}-1}$$ $$=b(e^b-1)\frac{e^{\frac{b}{n}}}{n(e^{\frac{b}{n}}-1)}.$$ $2)$ El límite a calcular es $$L=\lim_{n\to +\infty}b(e^b-1)\frac{e^{\frac{b}{n}}}{n(e^{\frac{b}{n}}-1)}.$$ Cuando $n\to +\infty$ la expresión $n(e^{\frac{b}{n}}-1)$ toma la forma indeterminada $(+\infty)\cdot 0$. Para resolverla, consideremos la función auxiliar $f(x)=x(e^{\frac{b}{x}}-1)$ y apliquemos la regla de L’Hopital $$\lim_{x\to +\infty}x(e^{\frac{b}{x}}-1)=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{\frac{b}{x}}-1}{1/x}\underbrace{=}_{\text{Indet. } 0/0}\lim_{x\to +\infty}\frac{-\frac{b}{x^2}e^{\frac{b}{x}}}{-1/x^2}=\lim_{x\to +\infty}e^{\frac{b}{x}}=b.$$ Queda por tanto $$L=\lim_{n\to +\infty}b(e^b-1)\frac{e^{\frac{b}{n}}}{n(e^{\frac{b}{n}}-1)}=b(e^b-1)\frac{1}{b}=e^b-1.$$ $3)$ Podemos expresar $$L=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\frac{be^{\frac{k}{n}}}{n}=b\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^ne^{\frac{k}{n}}\underbrace{=}_{g(x)=e^{bx}}b\lim_{n \to{+}\infty}\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n g\left(\frac{k}{n}\right)$$ $$=b\int_0^1g(x)\;dx=b\int_0^1e^{bx}\;dx\underbrace{=}_{\text{si }b\ne 0}b\left[\frac{e^{bx}}{b}\right]_0^1=e^b-1.$$ Si $b=0$, trivialmente $L=0$ luego en cualquier caso $L=e^b-1.$

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