Hipersuperficie en $\mathbb{Q}^2$ y último teorema de Fermat

RESUMEN. Usando el último teorema de Fermat, determinamos una hipersuperficie en $\mathbb{Q}^2.$

Enunciado.
Para $n\ge 3$ entero, determinar $V(x^n+y^n-1)$ en $\mathbb{Q}^2.$

Solución.
Supongamos que $x=a/b$, $y=c/d$ es solución racional de $x^n+y^n-1=0$. Escribiendo con común denominador, $x=(ad)/(bd)$, $y=(cb)/(db)$ con lo cual, $$\left(\frac{ad}{bd}\right)^n+\left(\frac{cb}{bd}\right)^n-1=0\text{ o bien }(ad)^n+(cb)^n=(bd)^n.$$ Según el último teorema de Fermat, si $n\ge 3$ la ecuación $x^n+y^n=z^n$ no tiene soluciones enteras si $xyz\ne 0 .$ En consecuencia, las únicas soluciones racionales de $x^n+y^n-1=0$ se obtendrán para $(ab)(cb)(bd)=0$ y al ser $b\ne 0$ y $d\ne 0$ ha de ser $a=0$ o $c=0$ es decir, $x=0$ o $y=0.$

Si $x=0$ queda $y=1$ si $n$ impar e $y=\pm 1$ si $n$ par. Si $y=0$ queda $x=1$ si $n$ impar y $x=\pm 1$ si $n$ par. Por tanto, $$V(x^n+y^n-1)= \{(1,0),(0,1)\} \text{ si } n \text{ es impar},$$ $$V(x^n+y^n-1)= \{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)\} \text{ si } n \text{ es par}.$$

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