Media y desviación típica de la distribución binomial

RESUMEN. Hallamos la media y desviación típica de la distribución binomial.

Enunciado.
Dada la distribución binomial $B(n,p)$ $$P(X=k)=\displaystyle \binom{n}{k}p^kq^{n-k}\quad (k=0,1,\ldots,n),$$ $(a)$ Hallar su media $\mu_X.$
$(b)$ Hallar su desviación típica $\sigma_X.$

Solución.
$(a)$ Tenemos $$\mu_X=E[X]=\sum_{k=0}^n p_kx_k=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}p^kq^{n-k}k=\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}p^kq^{n-k}k.$$ Por otra parte, para $k\ge 1:$ $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{k}\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}.$$ Por tanto, $$E[X]=\sum_{k=1}^n\frac{n}{k}\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}p^kq^{n-k}k$$ $$=n\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}p^kq^{n-k}\underbrace{=}_{s=k-1}n\sum_{s=0}^{n-1}\binom{n-1}{s}p^{s+1}q^{n-1-s}$$ $$=np\sum_{s=0}^{n-1}\binom{n-1}{s}p^{s}q^{n-1-s}=np(p+q)^{n-1}\underbrace{=}_{p+q=1}np.$$ $(b)$ Hallemos la varianza de $X.$ $$E[X^2]=\sum_{k=0}^n k^2\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}=\sum_{k=1}^n k^2\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k}$$ $$=np\sum_{k=1}^n k\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{n-k}$$ $$\underbrace{=}_{s=k-1}np\sum_{k=0}^{n-1} (s+1)\frac{(n-1)!}{s!(n-1-s)!}p^{s}q^{n-1-s}$$ $$=np\sum_{k=0}^{n-1} s\frac{(n-1)!}{s!(n-1-s)!}p^{s}q^{(n-1)-s}+np\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{s!(n-1-s)!}p^{s}q^{(n-1)-s}$$ $$\underbrace{=}_{\text{por }(a)}np(n-1)p+np\cdot 1=(np)^2-np^2+np=$$ $$=(np)^2+np(1-p)=(np)^2+npq.$$ Entonces, $$\text{Var }X=E[X^2]-\mu_X^2=(np)^2+npq-(np)^2=npq,$$ y la desviación típica es $\sigma_X=\sqrt{npq}.$

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