Media y desviación típica de la distribución de Poisson

RESUMEN. Hallamos la media y desviación típica de la distribución de Poisson.

Enunciado.
Dada la distribución de Poisson:
$$p(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\quad (\lambda > 0,k=0,1,2,\ldots).$$ $(a)$ Hallar su media $\mu_X.$
$(b)$ Hallar su desviación típica $\sigma_X.$

Solución.
$(a)$ Tenemos $$\mu_X=E[X]=\sum_{k=0}^{+\infty}p_kx_k=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}k=e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=$$ $$e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{-\lambda}\lambda e^{\lambda}=\lambda.$$ $(b)$ Hallemos la varianza de $X$:
$$E[X^2]=\sum_{k=0}^{+\infty}k^2\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\sum_{k=1}^{+\infty}k^2\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\lambda\sum_{k=1}^{+\infty}k\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k-1}}{(k-1)!}$$ $$\underbrace{=}_{s=k-1}\lambda\sum_{s=0}^{+\infty}(s+1)\frac{e^{-\lambda}\lambda^{s}}{s!}=\lambda\sum_{s=0}^{+\infty}s\frac{e^{-\lambda}\lambda^{s}}{s!}+\lambda\sum_{s=0}^{+\infty}\frac{e^{-\lambda}\lambda^{s}}{s!}$$ $$\underbrace{=}_{\text{ap. }(a)}\lambda\cdot\lambda+\lambda\cdot 1=\lambda^2+\lambda.$$ Entonces, $\text{Var }X=E[X^2]-\mu_X^2=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda$, y la desviación típica es $\sigma_X=\sqrt{\lambda^2}=\lambda.$