Variable aleatoria sin esperanza matemática

RESUMEN. Damos un ejemplo de función de probabilidad sin esperanza matemática.

Enunciado.
Hallar la esperanza matemática de la variable aleatoria discreta $X$ cuya función de probabilidad es $$p\left(X=\dfrac{(-1)^k2^k}{k}\right)=\frac{1}{2^k}\quad (k=1,2,\ldots).$$

Solución.
Tenemos, $$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{2^k}=-1+\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^k}=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=-1+2=1,$$ y $1/2^k\ge 0$ por tanto $p$ es función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. Entonces, $$E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}p_kx_k=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k}=-\log 2,$$ pero la serie en valor absoluto es $\sum_{k=1}^{+\infty}1/k$ (divergente). La serie que define $E(X)$ no es absolutamente convergente, por tanto no existe $E(X)$.

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