Distribución uniforme continua

RESUMEN. Definimos la distribución uniforme continua y hallamos su media y desviación típica.

Enunciado.
Se define la distribución uniforme continua como la distribución cuya función de densidad es, para $ a < b $:
$$ f(x)=\begin{cases}
\dfrac{1}{b – a} & \text{si}\ a \le x \le b, \\[8pt] 0 & \text{si}\ x < a\ \text{ o } x > b.
\end{cases}$$ Determinar su función de distribución, su media y su desviación típica.

Solución.
La función $f$ es $\ge 0$ en $\mathbb{R}$, continua a trozos en todo intervalo acotado y además $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx=\int_{a}^{b}\frac{dx}{b-a}=1,$$ luego $f$ es funci\’on de densidad. La correspondiente función de distribución es$$x < a\Rightarrow F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\;dt=\int_{-\infty}^x0 \;dt=0,$$ $$a \le x \le b\Rightarrow F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\;dt=\int_{a}^x\frac{dt}{b-a}=\frac{x-a}{b-a},$$ $$ x > b\Rightarrow F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\;dt=\int_{a}^b\frac{dt}{b-a}=\frac{b-a}{b-a}=1,$$ por tanto, $$ F(x)= \begin{cases}
0 & \text{si }x < a \\[8pt] \dfrac{x-a}{b-a} & \text{si }a \le x \le b \\[8pt] 1 & \text{si }x > b.
\end{cases}$$ La media es $$\mu=E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}tf(t)\;dt=\int_{a}^{b}\frac{t\;dt}{b-a}=\frac{1}{b-a}\left[\frac{t^2}{2}\right]_a^b$$ $$=\frac{1}{b-a}\frac{b^2-a^2}{2}=\frac{a+b}{2}.$$ Por otra parte, $$E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}t^2f(t)\;dt=\int_{a}^{b}\frac{t^2\;dt}{b-a}=\frac{1}{b-a}\left[\frac{t^3}{3}\right]_a^b$$ $$=\frac{1}{b-a}\frac{b^3-a^3}{3}=\frac{a^2+ab+b^2}{3}.$$ $$\text{Var }X=E(X^2)-\mu^2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{(a+b)^2}{4}$$ $$=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}=\frac{(b-a)^2}{12}.$$ La desviación típica es por tanto $\sigma=\sqrt{\text{Var }X}=\dfrac{b-a}{2\sqrt{3}}.$

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