RESUMEN. Definimos la topología Fort y estudiamos algunas de sus propiedades.
- Demostrar que $T_p$ es una topología en $X$. A la topología $T_p$ se la denomina topología Fort y a $(X,T_p)$, espacio Fort.
- Demostrar que el espacio Fort es de Hausdorff.
- Demostrar que el espacio Fort no es conexo.
- Demostrar que el espacio Fort es compacto.
Enunciado.
Sea $X$ un conjunto infinito y $p\in X.$ Se define la familia de subconjuntos de $X:$ $$T_p=\{G\subset X:p\notin G\text{ o }G^c\text{ es finito}\}.$$
Sea $X$ un conjunto infinito y $p\in X.$ Se define la familia de subconjuntos de $X:$ $$T_p=\{G\subset X:p\notin G\text{ o }G^c\text{ es finito}\}.$$
- Verifiquemos los tres axiomas de topología.
$(a)$ $X^c=\emptyset$, que es finito por tanto $X\in T_p.$ Dado que $p\notin \emptyset$, se verifica $\emptyset\in T_p.$
$(b)$ Sean $G$ y $H$ elementos de $T_p.$ Si $p\notin G$ o $p\notin H$, entonces $p\notin G\cap H$ con lo cual $G\cap H\in T_p.$ Si $p\in G$ y $p\in H$, entonces $G^c$ y $H^c$ son finitos con lo cual $(G\cap H)^c$ $=G^c\cup H^c$ es finito, luego $G\cap H\in T_p.$
$(c)$ Sea $\{G_i:i\in I\}$ una colección de elementos de $T_p.$ Pueden ocurrir dos casos, o bien $p\notin G_{i}$ para todo $i\in I$ o bien existe $i_0\in I$ tal que $p\in G_{i_0}$. En el primer caso, $p\notin \bigcup_{i\in I}G_i$ con lo cual $\bigcup_{i\in I}G_i\in T_p.$ En el segundo caso, $G_{i_0}^c$ es finito. Entonces,
$$ G_{i_0} \subset \bigcup_{i\in I}G_i\Rightarrow \left(\bigcup_{i\in I}G_i\right)^c\subset G_{i_0}^c,$$ con lo cual $\left(\bigcup_{i\in I}G_i\right)^c$ es finito y por tanto, $\bigcup_{i\in I}G_i\in T_p.$ - Sean $x,y\in X$ distintos con $x\ne p$ e $y\ne p.$ Entonces, $\{x\}$ es abierto que contiene a $x$, $\{y\}$ es abierto que contiene a $y$ con $\{x\}\cap \{y\}=\emptyset.$ Si $x\ne p$ e $y=p$, entonces $(X-\{x\})^c=\{x\}$ finito, luego $X-\{x\}$ es abierto que contiene a $p.$ Por otra parte, $\{x\}$ es abierto que contiene a $x$ y $(X-\{x\})\cap \{x\}=\emptyset.$ Concluimos que el espacio Fort es de Hausdorff.
- Sea $x\in X$ con $x\ne p$ (existe pues $X$ es infinito). Entonces, $X-\{x\}$ es abierto pues $\left(X-\{x\}\right)^c=\{x\}$ es finito. El conjunto $\{x\}$ es abierto pues $p\notin\{x\}$. Entonces, $X$ es unión de los abiertos no vacíos y disjuntos $X-\{x\}$ y $\{x\}$ lo cual prueba que el espacio Fort no es conexo.
- Sea $\{G_i:i\in I\}$ un recubrimiento abierto de $X.$ Entonces, $X=\bigcup_{i\in I}G_i$ y por tanto existe $i_0\in I$ tal que $p\in G_{i_0}.$ Como $G_{i_0}$ es abierto, $G_{i_0}^c=\{x_1,\ldots,x_m\}$ (finito). Seleccionemos $i_{j}\in I$ tales que $x_j\in G_{i_j}$ para todo $1\le j \le m$. Entonces,
$$X=G_{i_0}\cup G_{i_1}\cup\ldots\cup G_{i_m}.$$ Existe pues un subrecubrimiento finito de $X$ por abiertos, lo cual implica que $(X,T_p)$ es compacto.
Solución.