Topología Fort

RESUMEN. Definimos la topología Fort y estudiamos algunas de sus propiedades.

    Enunciado.
    Sea $X$ un conjunto infinito y $p\in X.$ Se define la familia de subconjuntos de $X:$ $$T_p=\{G\subset X:p\notin G\text{ o }G^c\text{ es finito}\}.$$
  1. Demostrar que $T_p$ es una topología en $X$. A la topología $T_p$ se la denomina topología Fort y a $(X,T_p)$, espacio Fort.
  2. Demostrar que el espacio Fort es de Hausdorff.
  3. Demostrar que el espacio Fort no es conexo.
  4. Demostrar que el espacio Fort es compacto.
    Solución.
  1. Verifiquemos los tres axiomas de topología.
    $(a)$ $X^c=\emptyset$, que es finito por tanto $X\in T_p.$ Dado que $p\notin \emptyset$, se verifica $\emptyset\in T_p.$
    $(b)$ Sean $G$ y $H$ elementos de $T_p.$ Si $p\notin G$ o $p\notin H$, entonces $p\notin G\cap H$ con lo cual $G\cap H\in T_p.$ Si $p\in G$ y $p\in H$, entonces $G^c$ y $H^c$ son finitos con lo cual $(G\cap H)^c$ $=G^c\cup H^c$ es finito, luego $G\cap H\in T_p.$
    $(c)$ Sea $\{G_i:i\in I\}$ una colección de elementos de $T_p.$ Pueden ocurrir dos casos, o bien $p\notin G_{i}$ para todo $i\in I$ o bien existe $i_0\in I$ tal que $p\in G_{i_0}$. En el primer caso, $p\notin \bigcup_{i\in I}G_i$ con lo cual $\bigcup_{i\in I}G_i\in T_p.$ En el segundo caso, $G_{i_0}^c$ es finito. Entonces,
    $$ G_{i_0} \subset \bigcup_{i\in I}G_i\Rightarrow \left(\bigcup_{i\in I}G_i\right)^c\subset G_{i_0}^c,$$ con lo cual $\left(\bigcup_{i\in I}G_i\right)^c$ es finito y por tanto, $\bigcup_{i\in I}G_i\in T_p.$
  2. Sean $x,y\in X$ distintos con $x\ne p$ e $y\ne p.$ Entonces, $\{x\}$ es abierto que contiene a $x$, $\{y\}$ es abierto que contiene a $y$ con $\{x\}\cap \{y\}=\emptyset.$ Si $x\ne p$ e $y=p$, entonces $(X-\{x\})^c=\{x\}$ finito, luego $X-\{x\}$ es abierto que contiene a $p.$ Por otra parte, $\{x\}$ es abierto que contiene a $x$ y $(X-\{x\})\cap \{x\}=\emptyset.$ Concluimos que el espacio Fort es de Hausdorff.
  3. Sea $x\in X$ con $x\ne p$ (existe pues $X$ es infinito). Entonces, $X-\{x\}$ es abierto pues $\left(X-\{x\}\right)^c=\{x\}$ es finito. El conjunto $\{x\}$ es abierto pues $p\notin\{x\}$. Entonces, $X$ es unión de los abiertos no vacíos y disjuntos $X-\{x\}$ y $\{x\}$ lo cual prueba que el espacio Fort no es conexo.
  4. Sea $\{G_i:i\in I\}$ un recubrimiento abierto de $X.$ Entonces, $X=\bigcup_{i\in I}G_i$ y por tanto existe $i_0\in I$ tal que $p\in G_{i_0}.$ Como $G_{i_0}$ es abierto, $G_{i_0}^c=\{x_1,\ldots,x_m\}$ (finito). Seleccionemos $i_{j}\in I$ tales que $x_j\in G_{i_j}$ para todo $1\le j \le m$. Entonces,
    $$X=G_{i_0}\cup G_{i_1}\cup\ldots\cup G_{i_m}.$$ Existe pues un subrecubrimiento finito de $X$ por abiertos, lo cual implica que $(X,T_p)$ es compacto.
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