Determinación de las isometrías del plano

RESUMEN. Vamos a demostrar que todas las isometrías del plano son exactamente las aplicaciones de la forma $h(z)=\alpha z+\beta$ o bien de la forma. $h(z)=\alpha \bar{z}+\beta$ con $\alpha,\beta$ complejos y $\left|\alpha\right|=1$.

1. Teorema. Sean $\alpha,\beta \in\mathbb{C}$ con $\left|\alpha\right|=1$. Entonces, son isometrías las aplicaciones $h_i:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ dadas por $h_1(z)=\alpha z+\beta$ y $h_2(z)=\alpha \bar{z}+\beta.$
   Demostración. Para todo $z,\omega\in\mathbb{C}$ tenemos $$\left|h_1(z)-h_1(\omega)\right|=\left|\alpha z-\alpha \omega\right|=\left|\alpha (z-\omega)\right|=\left|\alpha\right|\left|z-\omega\right|=\left|z-\omega\right|,$$ $$\left|h_2(z)-h_2(\omega)\right|=\left|\alpha \bar{z}-\alpha \bar{\omega}\right|=\left|\alpha (\bar{z}-\bar{\omega})\right|=\left|\alpha\right|\left|\overline{z-\omega}\right|=\left|z-\omega\right|.\qquad\square$$
2. Definición. Se dice que $z$ es punto fijo de una isometría $h$ si $h(z)=z$.
3. Lema. Si $h:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es una isometría con puntos fijos $0,1, i$ entonces, $h$ es la aplicación identidad.
   Demostración. Por ser $h$ isometría se verifica para todo $z\in \mathbb{C}$, $$\left|h(z)-h(0)\right|=\left|z-0\right|,\quad \left|h(z)-h(1)\right|=\left|z-1\right|,\quad \left|h(z)-h(i)\right|=\left|z-i\right|.$$ Al cumplirse $h(0)=0$, $h(1)=1$ y $h(i)=i$, $$\left|h(z)\right|=\left|z\right|,\quad \left|h(z)-1\right|=\left|z-1\right|,\quad \left|h(z)-i\right|=\left|z-i\right|.$$ De la primera igualdad anterior deducimos que $h(z)\overline{h(z)}=z\bar{z}$. Desarrollando la segunda igualdad, $$\left|h(z)-1\right|=\left|z-1\right|\Leftrightarrow \left(h(z)-1\right)\left(\overline{h(z)-1}\right)=(z-1)(\overline{z-1})$$ $$\Leftrightarrow \left(h(z)-1\right)\left(\overline{h(z)}-1\right)=(z-1)\left(\bar{z}-1\right)$$ $$\Leftrightarrow \underbrace{h(z)\overline{h(z)}}_{z\bar{z}}-h(z)-\overline{h(z)}+1=z\bar{z}-z-\bar{z}+1$$ $$\Leftrightarrow h(z)+\overline{h(z)}=z+\bar{z}.$$ Desarrollando la tercera igualdad, $$\left|h(z)-i\right|=\left|z-i\right|\Leftrightarrow \left(h(z)-i\right)\left(\overline{h(z)-i}\right)=(z-i)(\overline{z-i})$$ $$\Leftrightarrow \left(h(z)-i\right)\left(\overline{h(z)}+i\right)=(z-i)\left(\bar{z}+i\right)$$ $$\Leftrightarrow \underbrace{h(z)\overline{h(z)}}_{z\bar{z}}+ih(z)-i\overline{h(z)}+1=z\bar{z}+iz-i\bar{z}+1$$ $$\Leftrightarrow h(z)-\overline{h(z)}=z-\bar{z}.$$ Sumando las igualdades $h(z)+\overline{h(z)}=z+\bar{z}$ y $h(z)-\overline{h(z)}=z-\bar{z}$ obtenemos $h(z)=z$ para todo $z\in\mathbb{C}$ es decir, $h$ es la aplicación identidad. $\qquad\square$
4. Teorema. Si $h:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es una isometría entonces $h(z)=\alpha z+\beta$ o bien $h(z)=\alpha \bar{z}+\beta$ con $\left|\alpha\right|=1$.
   Demostración. Sea $h:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ una isometría y llamemos $\beta =h(0)$, $\alpha =h(1)-h(0)$. Como $h$ es isometría $\left|\alpha\right|=\left|h(1)-h(0)\right|=\left|1-0\right|=1$. Definamos la función $$g(z):=\frac{h(z)-\beta}{\alpha}=\frac{h(z)-h(0)}{h(1)-h(0)}.$$ Esta función $g$ es isometría pues
   $$\left|g(z)-g(\omega)\right|=\left|\frac{(h(z)-\beta)-(h(\omega)-\beta)}{\alpha}\right|=\left|h(z)-h(\omega)\right|=\left|z-\omega\right|.$$ Se verifica $g(0)=0$ y $g(1)=1$. En aras a la aplicación del lema anterior, veamos cual es el valor de $g(i)$. Tenemos
   $$\begin{aligned} & \left|g(i)\right|=\left|g(i)-g(0)\right|=\left|i-0\right|=1,\\ & \left|g(i)-1\right|=\left|g(i)-g(1)\right|=\left|i-1\right|=\sqrt{2}.
   \end{aligned}$$ Es decir, $g(i)$ pertenece a la intersección de la circunferencia unidad con la circunferencia de centro $(1,0)$ y radio $\sqrt{2}$. Fácilmente verificamos que ambas circunferencias se cortan exáctamente en los puntos $i$ y $-i$. Si $g(i)=i$, por el lema anterior, $g(z)=z$ para todo $z$ y por tanto, $h(z)=\alpha z+\beta$. Si $g(i)=-i$ entonces $\bar{g}(z):=\overline{g(z)}$ es una isometría que fija los puntos $0,1,i$ y de nuevo por el lema anterior, $\overline{g(z)}=z$ para todo $z$ o bien $g(z)=\bar{z}$ para todo $z$, con lo cual $h(z)=\alpha \bar{z}+\beta$. $\qquad\square$