Grupo de las isometrías del plano

RESUMEN. Demostramos que las isometrías tienen estructura de grupo con la operación composición.

1. Teorema. Toda isometría $h$ del plano es función biyectiva y su inversa $h^{-1}$ también es una isometría.
   Demostración. Si $h(z)=\alpha z+\beta$ con $\left|\alpha\right|=1$ entonces, $$h(z_1)=h(z_2)\Rightarrow \alpha z_1+\beta=\alpha z_2+\beta\Rightarrow \alpha z_1=\alpha z_2\Rightarrow z_1=z_2,$$ luego $h$ es inyectiva. Por otra parte dado $\omega\in \mathbb{C}$ se verifica $$\omega =h(z)\Leftrightarrow \omega=\alpha z+\beta\Leftrightarrow z=\frac{1}{\alpha}\omega -\frac{\beta}{\alpha},$$ por tanto para todo $\omega$ existe $z$ tal que $h(z)=\omega$ por tanto $h$ es sobreyeciva y la inversa de $h$ viene dada por $h^{-1}(z)=(1/\alpha)z-\beta/\alpha$ que es isometria pues $\left|1/\alpha\right|=1$. Análogo razonamiento para las isometrías de la forma $h(z)=\alpha \bar{z}+\beta$, con inversa $$h^{-1}(z)=(1/\bar{\alpha})\bar{z}-\overline{\beta/\alpha}.\qquad\square$$
2. Corolario. El conjunto de las isometrías del plano forman un grupo no abeliano con la operación composición.
   Demostración. Por 3. ejemplo 2, la composición de isometrías es operación interna y la composición de aplicaciones es siempre asociativa. La aplicación identidad es neutro para la composición y es isometría. Por el teorema anterior si $h$ es isometría también lo es $h^{-1}.$ El grupo no es abeliano. Elijamos por ejemplo las isometrías $h_1(z)=z+1$ y $h_2(z)=-z$. Entonces, $(h_2\circ h_1)(z)=h_2[h_1(z)]=h_2(z+1)=-z-1$. Por otra parte $(h_1\circ h_2)(z)=h_1[h_2(z)]=h_1(-z)=-z+1$ y por tanto $h_2\circ h_1\ne h_1\circ h_2\qquad\square$