Expresión matricial de las isometrías del plano

RESUMEN. Vamos a trasladar las propiedades de las isometrías, al lenguaje matricial sin salirnos del cuerpo base $\mathbb{R}$.

    Sabido es que las matrices ortogonales de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ son aquellas matrices $A$ que satisfacen $A^T=A^{-1}$ o equivalentemente las que satisfacen $A^TA=I$. También es sabido que las matrices ortogonales de $\mathbb{R}^{2\times 2}$ son de alguno de los dos tipos: $$\begin{bmatrix}{\cos \theta}&{-\sin\theta}\\{\sin\theta}&{\;\;\;\cos \theta}\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}{\cos \theta}&{\;\;\;\sin\theta}\\{\sin\theta}&{-\cos \theta}\end{bmatrix}$$ para algún $\theta\in\mathbb{R}$. En el primer caso el determinante es $1$ y en el segundo caso, $-1$.
  1. Teorema. Sea $h$ una isometría en el plano con $z=x+iy$, $h(z)=x^\prime+iy^\prime$ $(x,y,x^\prime,y^\prime\in\mathbb{R})$. Entonces la expresión matricial de $h$ es de la forma $$\begin{bmatrix}{x^\prime}\\{y^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos \theta}&{-\sin\theta}\\{\sin\theta}&{\;\;\;\cos \theta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{\beta_x}\\{\beta_y}\end{bmatrix},$$ o bien de la forma $$\begin{bmatrix}{x^\prime}\\{y^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos \theta}&{\;\;\;\sin\theta}\\{\sin\theta}&{-\cos \theta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{\beta_x}\\{\beta_y}\end{bmatrix}.$$ con $\beta_x,\beta_y\in\mathbb{R}$ constantes.
    Demostración. Si la isometría es de la forma $h(z)=\alpha z+\beta$, como $\left |\alpha \right|=1$ ha de ser $\alpha=e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta.$ Llamando $\beta=\beta_x+i\beta_y$ tenemos $$h(z)=x^\prime+iy^\prime=(\cos \theta+i\sin \theta)(x+iy)+\beta_x+i\beta_y$$ $$=x\cos\theta-y\sin \theta+ i(x\sin\theta+y\cos \theta)+\beta_x+i\beta_y.$$ Igualando partes reales e imaginarias queda $$\begin{bmatrix}{x^\prime}\\{y^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos \theta}&{-\sin\theta}\\{\sin\theta}&{\;\;\cos \theta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{\beta_x}\\{\beta_y}\end{bmatrix}.$$ Si la isometría es de la forma $h(z)=\alpha \bar{z}+\beta$, tenemos $$h(z)=x^\prime+iy^\prime=(\cos \theta+i\sin \theta)(x-iy)+\beta_x+i\beta_y$$ $$=x\cos\theta+y\sin \theta+ i(x\sin\theta-y\cos \theta)+\beta_x+i\beta_y.$$ Igualando partes reales e imaginarias queda $$\begin{bmatrix}{x^\prime}\\{y^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\cos \theta}&{\;\;\;\sin\theta}\\{\sin\theta}&{-\cos \theta}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{\beta_x}\\{\beta_x}\end{bmatrix}.\qquad\square$$
  2. Corolario. (Clasificación matricial de isometrías) Una aplicación $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ es una isometría si y sólo si es una aplicación de la forma $$h\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{\beta_x}\\{\beta_y}\end{bmatrix},$$ con $ A\in\mathbb{R}^{2\times 2}$ ortogonal y $\beta=(\beta_x,\beta_y)^T\in\mathbb{R}^2$ fijo. Además, se verifica: $$\begin{matrix}{\det A=1\;}\end{matrix}\displaystyle\begin{aligned}& \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & A=I\; \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \beta =0\;\text{ Identidad.} \\& \beta\ne 0\;\text{ Traslación no nula.} \end{aligned}\end{matrix}\right. \\& A\ne I \;\text{ Giro no trivial.}\end{aligned}\end{matrix}\right.\end{aligned}$$ $$\begin{matrix}{\det A=-1\;}\end{matrix}\displaystyle\begin{aligned}& \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & \text{ Simetría (si existe recta de puntos fijos).} \\& \text{ Simetría con desplazamiento (si no hay puntos fijos).}\end{aligned}\end{matrix}\right.\end{aligned}$$ Demostración. Es consecuencia inmediata del teorema anterior y del teorema 2 de Clasificación de las isometrías del plano.
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