Espacios topológicos $T_1$ y $T_2$

RESUMEN. Demostramos que todo espacio topológico $T_2$ es $T_1$ y que el recíproco no es cierto.

  1. Definición. Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Se dice que es un espacio $T_2$ o de Hausdorff si para todo par de elementos $a,b$ distintos de $X$ existen abiertos $G,H$ tales que $a\in G$, $b\in H$ y $G\cap H=\emptyset.$
  2. Teorema. Todo espacio topológico $T_2$ es $T_1.$
    Demostración. Si $X$ es $T_2$, para todo par de elementos $a,b$ distintos de $X$ existen abiertos $G,H$ tales que $a\in G$, $b\in H$ y $G\cap H=\emptyset.$ Como $G\cap H=\emptyset$ y $a\in G$, entonces $a\notin H$ y al ser $b\in H$, $b\notin G$. Es decir, $X$ es $T_1.$ $\qquad\square$
  3. Nota. El recíproco no es cierto. Elijamos $X$ un conjunto infinito y en él la topología cofinita, es decir $G\subset X$ es abierto si $G^c$ es finito o $G=\emptyset.$
    Todo subconjunto $\{p\}$ de $X$ es cerrado con lo cual $X$ es $T_1.$ Veamos que no es $T_2$ por reducción al absurdo.
    Sean $a,b\in X$ con $a\ne b$ y supongamos que existen abiertos $G,H$ con $a\in G$, $b\in H$ y $G\cap H=\emptyset.$ Como $G$ y $H$ no son vacíos $G^c$ y $H^c$ son finitos. Además $G\cap H=\emptyset$ implica $G\subset H^c$ y por tanto $G$ es finito. Entonces, $X=G\cup G^c$ lo cual es absurdo pues $X$ no puede ser unión de dos conjuntos finitos
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