Espacios topológicos $T_1$

RESUMEN. Definimos los espacios topológicos $T_1$ y proporcionamos ejemplos.

  1. Definición. Sea $(X,T)$ un espacio topológico. Se dice que es un espacio $T_1$ si para todo par de elementos $a,b$ distintos de $X$ existen abiertos $G,H$ tales que $$a\in G,b\notin G \text{ y }b\in H,a\notin H.$$
  2. Ejemplo. Sea $X=\{a,b\}$ con la topología $T=\{\emptyset,X,\{a\}\}.$ El único abierto que contiene a $b$ es $X,$ pero también contiene a $a$, por tanto $X$ no es $T_1.$
  3. Teorema. Un espacio topológico $X$ es $T_1$ si y solo si cada subconjunto unitario $\{p\}$ de $X$ es cerrado.
    Demostración. Supongamos que $X$ es $T_1$ y sea $p\in X.$ Veamos que $\{p\}^c$ es abierto. Sea $x\in \{p\}^c.$ Entonces $x\ne p$ y por ser $X$ espacio $T_1$ existe abierto $G_x$ tal que $x\in G_x$ pero $p\notin G_x.$ Es decir, $x\in G_x\subset \{p\}^c$ con lo cual $\{p\}^c=\bigcup_{x\in \{p\}^c}G_x.$ Como $\{p\}^c$ es unión de abiertos, es abierto y por tanto $\{p\}$ es cerrado.
    Recíprocamente, supongamos que $\{p\}$ es cerrado para todo $p\in X.$ Sean $a,b\in X$ con $a\ne b.$ Entonces $b\in \{a\}^c$ con lo cual $\{a\}^c$ es un conjunto abierto que contiene a $b$ y no conteniendo a $a.$ De la misma manera $\{b\}^c$ es un abierto que contiene a $a$ y no conteniendo a $b.$ Es decir, $X$ es $T_1.$ $\qquad\square$
  4. Ejemplo. Todo espacio métrico es $T_1$ pues sabemos que en todo espacio métrico todo subconjunto unitario es cerrado.
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