Espacios $T_4$ y metrizables

RESUMEN. Demostramos que todo espacio metrizable es $T_4.$ El recíproco no es cierto.

1. Teorema. Todo espacio metrizable es normal.
   Demostración. Sea $X$ metrizable con distancia $d.$ Sean $A,B$ subconjuntos cerrados disjuntos de $X.$ Para cada $a\in A$ elijamos una bola $B(a,\epsilon_a)$ tal que $B(a,\epsilon_a)\cap B=\emptyset.$ Esta bola existe pues $X-B$ es abierto. De la misma manera para cada $b\in B$ elijamos una bola $B(b,\epsilon_b)$ tal que $B(b,\epsilon_b)\cap A=\emptyset.$ Denotemos $$G=\bigcup_{a\in A}B(a,\epsilon_a/2),\quad H=\bigcup_{b\in B}B(b,\epsilon_b/2).$$ Los conjuntos $G$ y $H$ son abiertos tales que $A\subset G$ y $B\subset H.$ Veamos que $G\cap H=\emptyset$ lo cual demostrará que $X$ es normal. En efecto, si existiera $c\in G\cap H$ entonces $$c\in B(a,\epsilon_a/2)\cap B(b,\epsilon_b/2)$$ para algún $a\in A$ y algún $b\in B.$ Usando la desigualdad triangular, $$d(a,b)\le d(a,c)+d(c,b) < \frac{\epsilon_a+\epsilon_b}{2}.$$ Si $\epsilon_a\le \epsilon_b$ entonces $d(a,b) < \epsilon_b.$ Si ocurriera esto, $a\in B(b,\epsilon_b).$ Si $\epsilon_b\le \epsilon_a$ entonces $d(a,b) < \epsilon_a$ con lo cual $b\in B(a,\epsilon_a).$ Ninguna de las dos situaciones anteriores es posible pues $B(a,\epsilon_a)\cap B=\emptyset$ y $B(b,\epsilon_b)\cap A=\emptyset.$
2. Corolario. Todo espacio metrizable es $T_4.$
   Demostración. Si $X$ es metrizable es $T_2$ o de Haussdorf y por tanto es $T_1$. Por el teorema anterior es normal, luego $X$ es $T_4.$
3. Nota. Se demuestra que la recta de Sorgenfrey es decir, $\mathbb{R}$ con la topología de base $\mathcal{B}=\{[a,b): a, b\in \mathbb{R}, a < b\}$ es $T_4$ pero no metrizabble por tanto, el recíproco del teorema anterior no es cierto.