Recta de Sorgenfrey

RESUMEN. Definimos la recta de Sorgenfrey y estudiamos alguna de sus propiedades.

    Enunciado
  1. Demostrar que la colección de subconjuntos $$\mathcal{B}=\{[a,b): a, b\in \mathbb{R}, a < b\}$$ es base para una topología en $\mathbb{R}.$ A la topología $T$ generada por $\mathcal{B}$ se la llama topología de Sorgenfrey o topología del límite inferior y al espacio topológico $(X,T)$ se le designa abreviadamente por $\mathbb{R}_l$ y se le llama recta de Sorgenfrey.
  2. Demostrar que en $\mathbb{R}_l$,
    (a) Son abiertos: $[a,+\infty),\; (-\infty,a),\; (a,+\infty),\; (a,b).$
    (b) Son abiertos y cerrados: $[a,b),\; (-\infty,a),\;[a,+\infty).$
    (c) Los puntos son conjuntos cerrados pero no abiertos.
  3. Demostrar que la topología de Sorgenfrey es más fina que la usual.
  4. Demostrar que el espacio topológico $\mathbb{R}_l$ es Hausdorff.
  5. Demostrar que el espacio topológico $\mathbb{R}_l$ es separable.
  6. Demostrar que $\mathbb{R}_l$ cumple el primer axioma de numerabilidad.
  7. Demostrar que $\mathbb{R}_l$ no cumple el segundo axioma de numerabilidad.
    Solución
  1. Claramente $\mathbb{R}=\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B$ pues todo $x\in \mathbb{R}$ pertenece al intervalo $[x,x+1).$ Por otra parte, toda intersección $[a,b)\cap [c,d)$ de elementos de $\mathcal{B}$ es o bien el conjunto vacío o bien un intervalo de la forma $[e,f)\in\mathcal{B}.$
  2. (a) Se deduce inmediatamente de las igualdades $$[a,+\infty)=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a,a+n),\quad(-\infty,a)=\bigcup_{n=1}^{\infty}[a-n,a),$$ $$(a,+\infty)=\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[a+\frac{1}{n},a+n\right),\quad (a,b)=\bigcup_{n=2}^{\infty}\left[a+\frac{b-a}{n},b\right).$$ (b) El intervalo $[a,b)$ es abierto por la propia definición de la topología de Sorgenfrey. Por otra parte, $[a,b)^c=(-\infty, a)\cup[b,+\infty)$ es abierto por ser unión de dos abiertos (apartado (a)). Es decir, $[a,b)$ es cerrado. Por el apartado (a), $(-\infty,a)$ y $(-\infty,a)^c=[a,+\infty)$ son abiertos por tanto $(-\infty,a)$ es abierto y cerrado. Por el apartado (a), $[a,+\infty)$ y $[a,+\infty)^c=(-\infty,a)$ son abiertos por tanto $[a,+\infty)$ es abierto y cerrado.
    (c) Si $x\in\mathbb{R}$, $\{x\}$ no puede ser abierto pues no está contenido en ningún elemento de la base. Sin embargo es cerrado pues $\{x\}^c=(-\infty,x)\cup (x,+\infty)$ es unión de abiertos.
  3. Se deduce del hecho de que $(a,b)$ es abierto en la topología de Sorgenfrey y $\mathcal{B}_1=\{(a,b):a,b\in\mathbb{R}, a < b\}$ es base de la topología usual de $\mathbb{R}.$
  4. Efectivamente, si $a,b\in \mathbb{R}$ con $a < b$ entonces, $[a,b)$ y $[b,b+1)$ son abiertos disjuntos que contienen a $a$ y $b$ respectivamente.
  5. El subconjunto $\mathbb{Q}$ de $\mathbb{R}$ es numerable y su adherencia es $\mathbb{R}$ pues cualquier entorno de todo punto de $\mathbb{R}$ interseca a $\mathbb{Q}.$
  6. Si $p\in\mathbb{R}$, la colección $\mathcal{B}_p=\{[p,x):p < x, x\in\mathbb{Q}\}$ es numerable y cualquier abierto que contiene a $p$ contiene a algún elemento de $\mathcal{B}_p.$
  7. Supongamos que $\mathcal B$ es base de $\mathbb{R}_l$. Entonces para todo abierto $G$ y cualquier $x\in\mathbb{R}$ con $x\in G$, existe un abierto $B\in\mathcal B$ tal que $x\in B\subset G$. Dado que $[x,\infty)$ es abierto que contiene a $x$, podemos elegir un conjunto $B_x\in\mathcal B$ con $\min B_x=x$. Dado que la familia $\{B_x:x\in\mathbb{R}\}$ está formada por conjuntos distintos dos a dos, se tiene $|\mathcal B|\ge|\mathbb R| > \aleph_0$ y por tanto $\mathcal{B}$ no es numerable.
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