Ecuación en diferencias completa

RESUMEN. Proporcionamos un método para la resolución de la ecuación en diferencias completa.

    Recordamos que una ecuación en diferencias lineal de orden $k$ con coeficientes constantes es una expresión de la forma $$x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=b(n)$$ en donde $a_1,a_2,\ldots,a_k$ son números reales con $a_k\ne 0$ y $b$ una función de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$. Abreviadamente la llamamos ecuación en diferencias completa o simplemente ecuación completa y si $b$ es la función nula a la ecuación obtenida se la llama abreviadamente ecuación en diferencias homgoénea o simplemente ecuación homogénea.
    En Ecuación en diferencias homogénea habíamos ya estudiado un método para el cálculo de las solución general de la ecuación en diferencias homogénea. Se trata ahora de hallar la solución general de la ecuación en diferencias completa según algunas formas de la función $b(n)$ del lado derecho.
  1. Teorema. La solución general de la ecuación completa se obtiene sumando a una solución particular de la completa la solución general de la homogénea.
    Demostración. Sea $\hat{x}_n$ una solución particular de la completa y $x_n$ una solución cualquiera de la homogénea. Entonces, $$(\hat{x}_{n+k}+x_{n+k})+a_1(\hat{x}_{n+k-1}+x_{n+k-1})+\ldots +a_{k-1}(\hat{x}_{n+1}+x_{n+1})+a_k(\hat{x}_{n}+x_n)$$ $$=(\hat{x}_{n+k}+a_1\hat{x}_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}\hat{x}_{n+1}++a_k\hat{x}_{n})$$ $$+x_{n+k}+a_1x_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}x_{n+1}+a_kx_n=b(n)+0=b(n)$$ es decir, $\hat{x}_{n}+x_n$ es solución de la completa. Recíprocamente, sea $y_n$ una solución cualquiera de la completa. Entonces, $y_n=\hat{x}_{n}+(y_n-\hat{x}_{n}).$ Ahora bien, $$(y_{n+k}-\hat{x}_{n+k})+a_1(y_{n+k-1}\hat{x}_{n+k-1})+\ldots +a_{k-1}(y_{n+1}-\hat{x}_{n+1})+a_k(y_{n}-\hat{x}_n)$$ $$=(y_{n+k}+a_1y_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}y_{n+1}++a_ky_{n})$$ $$-(\hat{x}_{n+k}+a_1\hat{x}_{n+k-1}+\ldots +a_{k-1}\hat{x}_{n+1}++a_k\hat{x}_{n})=b(n)-b(n)=0$$ es decir, $y_n$ es la suma de $\hat{x}_{n}$ y una solución de la homogénea.
  2. Método para el cálculo de una solución particular de la ecuación completa. Recordamos que la ecuación característica de asociada a una ecuación en diferencias es $$\lambda^{k}+a_1\lambda^{k-1}+\ldots +a_{k-1}\lambda+a_k=0$$ Por $F_h(n)$ denotamos a un polinomio con coeficientes reales, grado $h$ y variable $n$ natural y por $\widehat{F}_h(n)$ un polinomio del mismo tipo con coeficientes indeterminados. Entonces, se verifica:
    1. Si $b(n)=P_m(n)$ y $1$ no es raíz de la ecuación característica, entonces una solución particular de la ecuación completa tiene la forma $\hat{x}_n=\widehat{P}_m(n)$.
    2. Si $b(n)=P_m(n)$ y $1$ es raíz de la ecuación característica de multiplicidad $r$, entonces una solución particular de la ecuación completa tiene la forma $\hat{x}_n=n^r\widehat{P}_m(n).$
    3. Si $b(n)=a^nP_m(n)$ y $a$ no es raíz de la ecuación característica, entonces una solución particular de la ecuación completa tiene la forma $\hat{x}_n=a^n\widehat{P}_m(n).$
    4. Si $b(n)=a^nP_m(n)$ y $a$ es raíz de la ecuación característica de multiplicidad $r$, entonces una solución particular de la ecuación completa tiene la forma $\hat{x}_n=a^nn^r\widehat{P}_m(n).$
    5. Si $b(n)=a^n\left[P_s(n)\cos n\theta+Q_t(n)\sin n\theta\right]$ entonces, una solución particular de la ecuación completa es de la forma $$\hat{x}_n=a^nn^r\left[\hat{P}_g(n)\cos n\theta+\hat{Q}_g(n)\sin n\theta\right]$$ siendo $g=\max\{s,t\}$ y $r\ge 0$ el orden de multiplicidad de $a(\theta+\sin\theta)$ como raíz de la ecuación característica.
  3. Ejemplo. Resolver la ecuación en diferencias completa $$x_{n+2} – 5x_{n+1} + 6x_n = 10.$$ Solución. Las raíces de la ecuación característica $\lambda^2-5\lambda+6=0$ son $\lambda=1$ y $\lambda=3$ simples, luego la solución general de la ecuación homogénea es $x_n=C_12^n+C_23^n.$ Como $1$ no es raíz de la ecuación característica, y $10$ es un polinomio de grado $0$, una solución particular será de la forma $\hat{x}_n=A$ con $A$ número real no nulo. Obligando a que sea solución, $A-5A+6A=10$ con lo cual $A=5$. La solución general de la ecuación completa es por tanto $$\hat{x}_n+x_n=5+C_12^n+C_23^n.$$
  4. Ejemplo. Resolver la ecuación en diferencias completa $$x_{n+2} – 3x_{n+1} + 2x_n = n.$$ Solución. Las raíces de la ecuación característica $\lambda^2-3\lambda+2=0$ son $\lambda=1$ y $\lambda=2$ simples, luego la solución general de la ecuación homogénea es $x_n=C_1+C_22^n.$ Como $1$ es raíz de la ecuación característica de multiplicidad $1$ y $n$ es un polinomio de grado $1$, una solución particular será de la forma $\hat{x}_n=n(An+B)=An^2+Bn$. Obligando a que sea solución, $$A(n+2)^2+B(n+2)-3[A(n+1)^2+B(n+1)]+2(An^2+Bn)=n.$$ Operando, obtenemos $-2An+A-B=n$ con lo cual $-2A=1$, $A-B=0$ es decir $A=B=-1/2.$ La solución general de la ecuación completa es por tanto $$\hat{x}_n+x_n=-\frac{1}{2}n(n+1)+C_1+C_22^n.$$
  5. Ejemplo. Resolver la ecuación en diferencias completa
    $$x_{n+2}-x_{n+1}-6x_n=5\cdot 3^n$$ Solución. Las raíces de la ecuación característica $\lambda^2-\lambda-6=0$ son $\lambda=-2$ y $\lambda=3$ simples, luego la solución general de la ecuación homogénea es $x_n=C_1(-2)^n+C_23^n.$ Como $a=3$ es raíz de la ecuación característica de multiplicidad $1$ y $5$ es un polinomio de grado $0$, una solución particular será de la forma $\hat{x}_n=An3^n$. Obligando a que sea solución: $$A(n+2)3^{n+2}-A(n+1)3^{n+1}-6An3^n=5\cdot 3^n.$$ Dividiendo entre $3^n$ e identificando coeficientes obtenemos $A=13/3.$ La solución general de la ecuación completa es por tanto $\hat{x}_n+x_n=(13/3)n3^n+C_1(-2)^n+C_23^n$ o bien $$\hat{x}_n+x_n=C_1(-2)^n+\left(\frac{13}{3}n+C_2\right)3^n.$$
  6. Ejemplo. Resolver la ecuación en diferencias completa $$x_{n+2}+ 4x_{n}= 2^n\sin\frac{n\pi}{2}.$$ Solución. Las raíces de la ecuación característica $\lambda^2+4=0$ son $\lambda=\pm 2i$ simples y $2i=2[\cos (\pi/2)+i\sin (\pi/2)]$ luego la solución general de la ecuación homogénea es $$x_n=C_12^n\cos\frac{n\pi}{2}+C_22^n\cos\frac{n\pi}{2}=2^n\left(C_1\cos\frac{n\pi}{2}+C_2\cos\frac{n\pi}{2}\right).$$ El lado derecho de la ecuación es $$b(n)=2^n\left(0\cdot \cos\frac{n\pi}{2}+1\cdot\sin\frac{n\pi}{2}\right).$$ Según el apartado 5. del método 2., una solución particular es de la forma $$\hat{x}_n=2^nn\left(A\cos\frac{n\pi}{2}+B\sin\frac{n\pi}{2}\right).$$ Obliguemos a que sea solución:
    $$2^{n+2}(n+2)\left(A\cos\frac{(n+2)\pi}{2}+B\sin\frac{(n+2)\pi}{2}\right)$$ $$+ 4\cdot 2^nn\left(A\cos\frac{n\pi}{2}+B\sin\frac{n\pi}{2}\right)=2^n\sin\frac{n\pi}{2}.$$ Tenemos, $$\cos\frac{(n+2)\pi}{2}=\cos \left(\frac{n\pi}{2}+\pi\right)=-\cos \frac{n\pi}{2},$$ $$\sin\frac{(n+2)\pi}{2}=\sin \left(\frac{n\pi}{2}+\pi\right)=-\sin \frac{n\pi}{2}.$$ Sustituyendo y operando queda $$-8A\cos \frac{n\pi}{2}-8B\sin \frac{n\pi}{2}=\sin \frac{n\pi}{2},$$ por tanto, $A=0,$ $B=-1/8.$ Una solución particular de la ecuación completa es $$\hat{x}_n=-\frac{1}{8}2^nn\sin\frac{n\pi}{2}=-2^{n-3}n\sin\frac{n\pi}{2},$$ y la solución general $$\hat{x}_n+x_n=-2^{n-3}n\sin\frac{n\pi}{2}+2^n\left(C_1\cos\frac{n\pi}{2}+C_2\cos\frac{n\pi}{2}\right).$$
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