Identidad de polarización

RESUMEN. Demostramos la identidad de polarización en espacios prehilbertianos.

Enunciado
Sea $P$ un espacio prehilbertiano complejo. Demostrar la identidad de polarización, es decir para todo $x,y\in P,$ $$\langle x,y\rangle=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+i\|x+iy\|^2-i\|x-iy\|^2\right).$$ Solución
Desarrollando $\|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle$ obtenemos $$\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle.\qquad (1)$$ Sustituyendo $y$ por $-y$, por $iy$ y por $-iy$ obtenemos sucesivamente $$\|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle,$$ $$\|x+iy\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-i\langle x,y\rangle+i\langle y,x\rangle,$$ $$\|x-iy\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+i\langle x,y\rangle-i\langle y,x\rangle.$$ Las anteriores igualdades son equivalentes a $$-\|x-y\|^2=-\|x\|^2-\|y\|^2+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle,\qquad (2)$$ $$i\|x+iy\|^2=i\|x\|^2+i\|y\|^2+\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle,\qquad (3)$$ $$-i\|x-iy\|^2=-i\|x\|^2-i\|y\|^2+\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle.\qquad (4)$$ Sumando las igualdades de la $(1)$ a la $(4)$ obtenemos $$\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+i\|x+iy\|^2-i\|x-iy\|^2=4\langle x,y\rangle.$$ Nota. Obsérvese que la identidad de polarización permite expresar el producto escalar en función de la norma.

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