Ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos

RESUMEN. Demostramos la ley del paralelogramo en espacios prehilbertianos.

Enunciado
Demostrar que en todo espacio prehilbertiano $P$ se verifica la ley del paralelogramo: $$\| x+y\|^2+\| x-y\|^2=2\| x\|^2+2\|y\|^2,\quad \forall x,y\in P.$$ Interpretar geométricamente el resultado en $P=\mathbb{R}^2$.

Solución
Tenemos $$\| x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle$$ $$=\| x\|^2+\| y\|^2+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle.$$ Sustituyendo $y$ por $-y:$
$$\| x-y\|^2=\| x\|^2+\| y\|^2-\langle x,y\rangle-\langle y,x\rangle,$$ con lo cual, $$\| x+y\|^2+\| x-y\|^2=2\| x\|^2+2\|y\|^2.$$ En $P=\mathbb{R}^2,$ tenemos:

Es decir en todo paralelogramo la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes dus diagonales.

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