Todo espacio metrizable es normal

RESUMEN. Demostramos que todo espacio metrizable es normal.

Enunciado
Demostrar que todo espacio metrizable es normal.

Solución
Para cada $a\in A$ elijamos una bola $B(a,\epsilon_a)$ tal que $B(a,\epsilon_a)\cap B=\emptyset.$ Esta bola existe pues $X-B$ es abierto. De la misma manera para cada $b\in B$ elijamos una bola $B(b,\epsilon_b)$ tal que $B(b,\epsilon_b)\cap A=\emptyset.$ Denotemos $$\displaystyle G=\bigcup_{a\in A}B(a,\epsilon_a/2),\quad H=\bigcup_{b\in B}B(b,\epsilon_b/2).$$ Los conjuntos $G$ y $H$ son abiertos tales que $A\subset G$ y $B\subset H.$ Veamos que $G\cap H=\emptyset$ lo cual demostrará que $X$ es normal. En efecto, si existiera $c\in G\cap H$ entonces $$c\in B(a,\epsilon_a/2)\cap B(b,\epsilon_b/2)$$ para algún $a\in A$ y algún $b\in B.$ Usando la desigualdad triangular, $$d(a,b)\le d(a,c)+d(c,b) < \dfrac{\epsilon_a+\epsilon_b}{2}.$$ Si $\epsilon_a\le \epsilon_b$ entonces $d(a,b) < \epsilon_b.$ Si ocurriera esto, $a\in B(b,\epsilon_b).$ Si $\epsilon_b\le \epsilon_a$ entonces $d(a,b) < \epsilon_a$ con lo cual $b\in B(a,\epsilon_a).$ Ninguna de las dos situaciones anteriores es posible pues $B(a,\epsilon_a)\cap B=\emptyset$ y $B(b,\epsilon_b)\cap A=\emptyset$. Cuncluimos pues que todo espacio metrizable es normal.

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