RESUMEN. Demostramos el espacio de las funciones complejas en un intervalo cerrado es prehilbertiano pero no de Hilbert.
Enunciado
(a) Sea $P$ el espacio vectorial complejo de las funciones complejas continuas definidas en el intervalo cerrado real $[a,b].$ Es decir, $$P=\{x:[a,b]\to\mathbb{C},\;x\text{ continua.}\}.$$ Demostrar que $$\langle x,y\rangle=\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt$$ es un producto interior en $P.$
(b) Demostrar que $(P,\langle\;\;,\;\rangle )$ no es espacio de Hilbert.
Solución
(a) La conjugada de una función continua es continua y el producto de continuas también, luego la integral dada existe y es un número complejo. La aplicación $\langle \;,\;\rangle$ está bien definida. Para todo $\alpha\in\mathbb{C}$ y para todo $x,y,z\in P$ y usando conocidas propiedades de la integral: $$(i)\;\;\langle x+y,z\rangle=\int_a^b\left(x(t)+y(t)\right)\overline{z(t)}\;dt$$ $$=\int_a^bx(t)\;\overline{z(t)}\;dt+\int_a^by(t)\;\overline{z(t)}\;dt=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle.$$ $$(ii)\;\;\langle \alpha x,y\rangle=\int_a^b\alpha x(t)\;\overline{y(t)}\;dt=\alpha\int_a^b x(t)\;\overline{y(t)}\;dt=\alpha \langle x,y \rangle.$$ $$(iii)\;\;\langle y,x\rangle=\int_a^b y(t)\;\overline{x(t)}\;dt=\int_a^b \overline{x(t)\;\overline{y(t)}}\;dt=\overline{\int_a^bx(t)\;\overline{y(t)}\;dt}=\overline{\langle x,y\rangle}.$$ Por último, si $x\in P$ es función no nula: $$(iv)\;\;\langle x,x\rangle=\int_a^b x(t)\;\overline{x(t)}\;dt=\int_a^b \left|x(t)\right|^2\;dt.$$ La función $\left|x(t)\right|^2$ es continua, positiva y no nula en $[a,b],$ luego su integral es positiva en $[a,b]$ por una conocida propiedad de análisis real. Es decir, $\langle x,x\rangle > 0.$ Concluimos que $(P,\langle\;\;,\;\rangle )$ es espacio prehilbertiano.
(b) Consideremos $[a,b]=[-1,1]$. Veamos que existe una sucesión de Cauchy de $P$ que no converge en $P.$ Efectivamente, consideremos la sucesión $(x_n)_{n\ge 1}$ $$x_n(t)=\left \{ \begin{matrix} 0 &\text{si}& -1 \le t \le 0\\
nt & \text{si}& 0 < t < 1/n\\
1 & \text{si}& 1/n \le t \le 1.\end{matrix}\right.$$ Es claramente una sucesión de funciones continuas. Para $m > n$ es fácil demostrar por cálculo elemental que $$\|x_m-x_n\|=\int_{-1}^1|x_m(t)-x_n(t)|^2dt=\frac{(m-n)^2}{3m^2n}.$$ Entonces, $(x_n)$ es sucesión de Cauchy pues $\| x_m-x_n\|\to 0$ cuando $m,n\to +\infty.$ Veamos que $(x_n)$ no es convergente en $P$ lo cual demostrará que $P$ no es espacio de Hilbert. Por reducción al absurdo, supongamos que existe $x\in P$ tal que $(x_n)\to x$ es decir, supongamos que $$\int_{-1}^1|x_n(t)-x(t)|^2dt\to 0.$$ Al ser todas las integrales $\ge 0,$ $$\int_{a}^b|x_n(t)-x(t)|^2dt\le \int_{-1}^1|x_n(t)-x(t)|^2dt$$ para todo subintervalo $[a,b]\subset [-1,1]$, en consecuencia $\int_{a}^b|x_n(t)-x(t)|^2dt\to 0$ y en particular $\int_{-1}^0|x_n(t)-x(t)|^2dt\to 0.$ Como $x_n(t)=0$ en $[-1,0],$ $$\int_{-1}^0|x(t)|^2dt\to 0,$$
o equivalentemente $$\int_{-1}^0|x(t)|^2dt=0$$
y al ser $x$ continua se deduce que $x(t)=0$ para todo $t\in [-1,0].$ Si $0 < c < 1$ se verifica $\int_c^1|x_n(t)-x(t)|^2dt\to 0$ ahora bien por la definición de $x_n$ tenemos $x_n(t)=1$ en $[c,1]$ si $n > 1/c$, por tanto $$\int_c^1|x_n(t)-x(t)|^2dt=\int_c^1|1-x(t)|^2dt$$
para $n > 1/c$ y haciendo $n\to +\infty$:
$$\int_c^1|1-x(t)|^2dt=0$$ con lo cual $x(t)=1$ en $[c,1].$ Al ser $c > 0$ arbitrario, $x(t)=1$ en el intervalo $(0,1].$ Es decir $$x(t)=\left \{ \begin{matrix} 0 &\text{si}& -1 \le t \le 0\\
1 & \text{si}& 0 < t \le 1.\end{matrix}\right.$$ Esto contradice la hipótesis de ser $x$ continua. Concluimos que $P$ no es espacio de Hilbert.