Todo espacio normado de dimensión finita es de Banach

RESUMEN. Demostramos que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.

Enunciado
Demostrar que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach

Solución
Sea $(E,\|\;\|)$ espacio normado de dimensión finita $N$ sobre $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ y sea $B=\{e_1,\ldots,e_N\}$ una base de $E.$ Si $x=\sum_{j=1}^N\lambda_je_j$ entonces, $\|x\|_*=\sqrt{\sum_{j=1}^N|\lambda_j|^2}$ define una norma en $E.$ Como todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes, existe $C > 0$ tal que $$\frac{1}{C}\|x\|_*\le \|x\|\le C\|x\|_*\quad\forall x\in E.$$ Si $x_1,x_2,\ldots$ es una sucesión de Cauchy en $(E,\|\;\|)$, para todo $\epsilon > 0$ existe un natural $n_0$ tal que $$\|x_m-x_n\| \text{ si }m,n\ge n_0.$$ Cada vector $x_k$ de la sucesión se puede escribir en la forma $x_k=\sum_{j=1}^N\lambda_{kj}e_j.$ Entonces, $$\|x_m-x_n\|\ge\frac{1}{C} \|x_m-x_n\|_*=\frac{1}{C}\sqrt{\sum_{j=1}^N|\lambda_{mj}-\lambda_{nj}|^2}$$ $$\ge \frac{1}{C}|\lambda_{mj}-\lambda_{nj}|\quad \forall j=1,\ldots,N.$$ Se concluye que las sucesiones $(\lambda_{k1})_{k\ge1},\ldots,(\lambda_{kN})_{k\ge1} $ son de Cauchy en $\mathbb{K}.$ Como $\mathbb{K}$ es completo, estas sucesiones convegen a $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ (elementos de $\mathbb{K}$). Sea $x=\sum_{j=1}^N\lambda_je_j$. Para cada $k=1,2,\ldots$ $$\|x-x_k\|\le C\|x-x_k\|_*\le C\sqrt{\sum_{j=1}^N|\lambda_j-\lambda_{kj}|^2}.$$ Tomando límites cuando $k\to +\infty$ concluimos que $x_1,x_2,\ldots$ converge a $x\in E$ con la norma dada $\|\;\|.$ Concluimos pues que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.

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