RESUMEN. Demostramos que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.
Enunciado
Demostrar que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach
Solución
Sea $(E,\|\;\|)$ espacio normado de dimensión finita $N$ sobre $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ y sea $B=\{e_1,\ldots,e_N\}$ una base de $E.$ Si $x=\sum_{j=1}^N\lambda_je_j$ entonces, $\|x\|_*=\sqrt{\sum_{j=1}^N|\lambda_j|^2}$ define una norma en $E.$ Como todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes, existe $C > 0$ tal que $$\frac{1}{C}\|x\|_*\le \|x\|\le C\|x\|_*\quad\forall x\in E.$$ Si $x_1,x_2,\ldots$ es una sucesión de Cauchy en $(E,\|\;\|)$, para todo $\epsilon > 0$ existe un natural $n_0$ tal que $$\|x_m-x_n\| \text{ si }m,n\ge n_0.$$ Cada vector $x_k$ de la sucesión se puede escribir en la forma $x_k=\sum_{j=1}^N\lambda_{kj}e_j.$ Entonces, $$\|x_m-x_n\|\ge\frac{1}{C} \|x_m-x_n\|_*=\frac{1}{C}\sqrt{\sum_{j=1}^N|\lambda_{mj}-\lambda_{nj}|^2}$$ $$\ge \frac{1}{C}|\lambda_{mj}-\lambda_{nj}|\quad \forall j=1,\ldots,N.$$ Se concluye que las sucesiones $(\lambda_{k1})_{k\ge1},\ldots,(\lambda_{kN})_{k\ge1} $ son de Cauchy en $\mathbb{K}.$ Como $\mathbb{K}$ es completo, estas sucesiones convegen a $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ (elementos de $\mathbb{K}$). Sea $x=\sum_{j=1}^N\lambda_je_j$. Para cada $k=1,2,\ldots$ $$\|x-x_k\|\le C\|x-x_k\|_*\le C\sqrt{\sum_{j=1}^N|\lambda_j-\lambda_{kj}|^2}.$$ Tomando límites cuando $k\to +\infty$ concluimos que $x_1,x_2,\ldots$ converge a $x\in E$ con la norma dada $\|\;\|.$ Concluimos pues que todo espacio normado de dimensión finita es de Banach.