El espacio $l^2$ es de Hilbert

RESUMEN. Demostramos que el espacio $l^2$ es de Hilbert.

Enunciado
Designamos por $\mathbb{K}$ al cuerpo de los números reales o complejos indistintamente. Se define el subconjunto de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$: $$l_2:=\{x=(x_k)\in\mathbb{K}^{\mathbb{N}}: \sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^2< +\infty\}.$$ (a) Demostrar que $l^2$ es espacio vectorial con las operaciones habituales suma y producto de un escalar por una sucesión.
(b) Demostrar que la aplicación $\langle\;\;\rangle:l^2\times l^2\to \mathbb{K}$ dada por $$\langle x,y\rangle=\sum_{k=1}^{+\infty}x_k\overline{y_k}$$ define un producto interior.
(c) Demostrar que $(l^2, \langle\;\;\rangle )$ es espacio de Hilbert.

Solución
(a) La sucesión nula $0=(0)$ claramente pertenece a $l_p.$ Si $x=(x_k)$ e $y=(y_k)$ pertenecen a $l_2$ entonces $\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^2 < +\infty$ y $\sum_{k=1}^{+\infty} |y_k|^2 < +\infty$. Usando la desigualdad de Minkowski, $$\left(\sum_{k=1}^{n} |x_k+y_k|^2\right)^{1/2}\le \left(\sum_{k=1}^{n} \left(|x_k|+|y_k|\right)^2\right)^{1/2}$$ $$\le \left(\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2\right)^{1/2}+\left(\sum_{k=1}^{n} |y_k|^2\right)^{1/2}.$$ Tomando límites cuando $n\to +\infty$, $$\left(\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k+y_k|^2\right)^{1/2}\le \left(\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^2\right)^{1/2}+\left(\sum_{k=1}^{+\infty} |y_k|^2\right)^{1/2} < +\infty,$$ con lo cual $x+y\in l_2.$ Si $\lambda\in \mathbb{K}$ y $x\in l_2$ entonces, $$\sum_{k=1}^{+\infty} |\lambda x_k|^2=|\lambda|^2\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^2 < +\infty,$$ con lo cual $\lambda x\in l_2$ y $l_2$ es subespacio vectorial de $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}.$

(b) Veamos previamente que la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k\overline{y_k}$ es convergente. En efecto, para cada par de números reales $a,b$ se verifica $(a-b)^2\ge 0$ lo cual implica $a^2-2ab+b^2\ge 0$, o bien $ab\le \frac{1}{2}(a^2+b^2).$ Elgiendo $a=|x_k|$, $b=|y_k|$, $$|x_k\overline{y_k}|=|x_k||\overline{y_k}|=|x_k||y_k|\le \frac{1}{2}\left(|x_k|^2+|y_k|^2\right).$$ La serie $\sum_{k=1}^{+\infty}x_k\overline{y_k}$ está mayorada en módulo por la suma de dos series convergentes con lo cual es absolutamente convergente y por tanto convergente. Veamos ahora que $\langle\;\;\rangle$ es producto interior.
(i) Para todo $x,y,z\in l^2$, $$\langle x+y,z\rangle=\sum _{k=1}^{+\infty} (x_k+y_k)\overline{z_k}=\sum _{k=1}^{+\infty} (x_k\overline{z_k}+x_k\overline{z_k})$$ $$=\sum _{k=1}^{+\infty} x_k\overline{z_k}+\sum _{k=1}^{+\infty} y_k\overline{z_k}=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle.$$ (ii) Para todo $\alpha\in\mathbb{K},x\in l^2,$ $$\langle \alpha x,y\rangle=\sum _{k=1}^{+\infty} (\alpha x_k)\overline{y_k}=\alpha \sum _{k=1}^{+\infty} x_k\overline{y_k}=\alpha \langle x,y\rangle.$$ (iii) Para todo $x,y\in l^2,$ $$\langle y,x\rangle=\sum _{k=1}^{+\infty} y_k\overline{x_k}=\overline{\sum _{k=1}^{+\infty}\overline{y_k\overline{x_k}}}=\overline{\sum _{k=1}^{+\infty}x_k\overline{y_k}}=\overline{\langle x,y\rangle}.$$ (iv) Si $0\ne x\in l^2,$ claramente $\langle x,x\rangle=\sum _{k=1}^{+\infty}x_k\overline{x_k}=\sum _{k=1}^{+\infty}|x_k|^2 > 0 .$

(c) Sea $X_n=(x_{nk})$ una sucesión de Cauchy de elementos de $l_2.$ Para todo par de números naturales $m,n$ se verifica $\left|x_{nk}-x_{mk}\right|=\left(\left|x_{nk}-x_{mk}\right|^2\right)^{1/2}\le \left\|X_n-X_m\right\|.$ Como $X_n$ es sucesión de Cauchy, también lo es $x_{nk}$ para todo $k$ y al ser $\mathbb{K}$ completo, podemos definir $x_k:=\lim_{n\to +\infty}x_{nk}.$ Veamos que la sucesión $X=(x_k)$ pertenece a $l_2$ y que $X_n\to X$ con lo cual estará demostrado que $l_2$ es espacio de Hilbert.
Al ser $X_n$ de Cauchy en $l_2$, para todo $\epsilon > 0$ existe $n_0$ natural tal que para $m,n\ge n_0$ se verifica $ \left\|X_n-X_m\right\| < \epsilon.$ Para todo $N$ natural tenemos $$\sum_{k=1}^N\left|x_{nk}-x_{mk}\right|^2 \le \left(\left\|X_n-X_m\right\| \right)^2\le \epsilon^2.$$ Tomando límites cuando $m\to +\infty$ $$\sum_{k=1}^N\left|x_{nk}-x_{k}\right|^2=\lim_{m\to +\infty}\sum_{k=1}^N\left|x_{nk}-x_{mk}\right|^2 \le \epsilon^2,$$ y al ser $N$ cualquiera, $\sum_{k=1}^{+\infty}\left|x_{nk}-x_{k}\right|^2 \le \epsilon^2$ y por tanto $X_n-X\in l_2.$ Ahora bien $X=X_n-(X_n-X)$ con lo cual $X\in l_2.$ Por la última desigualdad $\left\|X_n-X\right\|_2 < \epsilon$ para $n\ge n_0$ es decir, $X_n$ converge a $X.$

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